a, 

Tứ giác AEHD có $\widehat{AEH}= \widehat{ADH}= 90^o$ nên tổng bằng 180 độ

=> Tứ giác nội tiếp 

Tứ giác BEDC có $\widehat{BEC}= \widehat{BDC}= 90^o$ 

=> E, D cùng nhìn đoạn cố định BC dưới góc vuông nên cùng thuộc đường tròn đường kính BC

=> Tứ giác BEDC nội tiếp

b,

BEDC nội tiếp

=> $\widehat{EDB}= \widehat{ECB}$ (D, C nhìn đoạn EB)

Mà $\widehat{NMB}= \widehat{ECB}$ (2 góc nội tiếp chắn 1 cung)

=> $\widehat{NMB}= \widehat{EDB}$

=> ED // MN (đồng vị)

c,

$\widehat{IEB}= \widehat{AED}$ (đối đỉnh)

$\widehat{AED}= \widehat{AHD}$ (tứ giác AEHD nội tiếp có E, H cùng nhìn đoạn AD)

$\widehat{AHD}= 90^o-\widehat{HAD}$

=> $\widehat{IEB}= 90^o -\widehat{HAD}$ 

$\widehat{ICD}= 90^o-\widehat{HAD}$ (AH là đường cao vì đi qua H trực tâm) 

=> $\widehat{IEB}= \widehat{ICD}$

Mà $\Delta$ IEB và $\Delta$ ICD có góc I chung nên đồng dạng (g.g)

=> $\frac{IB}{IE}= \frac{ID}{IC}$

=> IB.IC= ID.IE (đpcm)

d, (chưa ra)