Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 4) a) ∠DBI là tạo bởi tiếp tuyến BM và dây BD ; ∠BAI là góc nội tiếp chắn cung BD 

⇒ ∠DBI = ∠BAI 

xét ΔBID và Δ AIB có: góc I chung; ∠DBI = ∠BAI 

⇒ ΔBID đồng dạng với Δ AIB (g-g)

⇒ $\frac{IB}{IA}$ = $\frac{ID}{IB}$ ⇒ IB² = IA.ID (đpcm) (*)

b) vì AC // BM ⇒ ∠ACD = ∠DMI (so le trong) (1)

 ∠MAI là tạo bởi tiếp tuyến AM và dây AD ; ∠ACD là góc nội tiếp chắn cung BD 

⇔ ∠MAI = ∠ACD (2)

(1), (2) ⇒ ∠MAI = ∠DMI

xét Δ AMI và ΔMDI có: góc I chung; ∠MAI = ∠DMI

⇒ Δ AMI đồng dạng với ΔMDI (g-g)

⇒ $\frac{IM}{ID}$ = $\frac{IA}{IM}$ ⇒ IM² = IA.ID (**)

(*), (**) ⇒ IM² = IB² ⇒ IM = IB ⇒ I là trung điểm của MB (đpcm)

c) nếu M,O,C thẳng hàng

vì 2 tiếp tuyến AM và BM cắt nhau tại M nên OM là tia phân giác của ∠AOB; MA = MB 

Δ AOB có  OA = OB ⇒ ΔAOB cân tại O 

ΔAOB cân tại O có OM là tia phân giác của ∠AOB ⇒ OM cũng là đường cao

⇒ OM ⊥ AB ⇒ OC ⊥ AB  ⇒ OC đi qua trung điểm của AB 

Δ ABC có: CO vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến ⇒ Δ ABC cân tại C ⇒ AC = BC (3)

vì AC // BM; BM ⊥ OB ⇒ OB ⊥ AC  ⇒ OB đi  qua trung điểm của AC

Δ ABC có BO vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến ⇒ ΔABC cân tại B ⇒ AC = AB (4)

(3), (4) ⇒ AC = AB = BC 

vì 2 tiếp tuyến AM và BM cắt nhau tại M nên MO là tia phân giác của ∠ AMB ⇒ ∠AMC =∠BMC (5)

Vì AC // BM ⇒ ∠ ACM = ∠BMC (so le trong) (6)

(5), (6) ⇒ ∠ AMC = ∠ACM⇒ Δ MAC cân tại A ⇒ AC = AM

ta có: AC = AM; AM = BM; AC = AB ⇒ AM = BM = AB ⇒ ΔABM đều (đpcm)