Đáp án:

Bạn tham khảo nhé!

Giải thích các bước giải:

a) Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta DCM\) có:

\(\begin{array}{l}AM = DM\,\,\left( {gt} \right);\\BM = CM\,\,\left( {gt} \right);\end{array}\)

\(\widehat {AMB} = \widehat {CMD}\) (đối đỉnh)

\( \Rightarrow \Delta ABM = \Delta DCM\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow AB = CD\) (hai cạnh tương ứng).

b) \(\Delta ABM = \Delta CDM\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \widehat {ABM} = \widehat {DCM}\) (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(AB\parallel CD\).

Lại có \(AB \bot AC \Rightarrow CD \bot AC \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {DCA} = {90^0}\).

c) Xét tam giác vuông ABC có:

\(AM = \frac{1}{2}BC = BM = CM\) (Trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy)

\( \Rightarrow \Delta ABM\) cân tại A.

Xét tam giác vuông ABC có:

\(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = {90^0} \Rightarrow \widehat {ABC} + {30^0} = {90^0} \Rightarrow \widehat {ABC} = {60^0}\).

\( \Rightarrow \widehat {ABM} = {60^0} \Rightarrow \Delta ABM\) đều.

d) Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\ \Rightarrow {3^2} + {4^2} = B{C^2}\\ \Rightarrow B{C^2} = 25\\ \Rightarrow BC\, = 5\,\,\left( {cm} \right)\\ \Rightarrow AM = \frac{1}{2}BC = \frac{5}{2}\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

D đối xứng A qua M \( \Rightarrow M\) là trung điểm của \(AD \Rightarrow AD = 2AM = BC = 5\,\,\left( {cm} \right)\).

Ta có: \(AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}.\frac{5}{2} = \frac{5}{3}\,\,\left( {cm} \right)\).

Vì G nằm giữa A và M nên G nằm giữa A và D

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow AG + GD = AD\\ \Rightarrow GD = AD - AG = 5 - \frac{5}{3} = \frac{{10}}{3}\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)