a) Ta có $\widehat{ACB}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

$\widehat{PIB}=90^o$ (giả thiết)

$\Rightarrow$ tứ giác $BCPI$ có:

$\widehat{PCB}+\widehat{PIB}=180^o$ mà chúng ở vị trí đối nhau nên $BCPI$ nội tiếp đường tròn đường kính $(PB)$

b) $\Delta ABM$ có 2 đường cao $AC$ và $MI$ cắt nhau tại $P$ nên P là trực tâm

$\Rightarrow BP\bot AM$ (1)

Mà $\widehat{AKB}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

$\Rightarrow BK\bot AK$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $B, P, K$ thẳng hàng

c) Tứ giác $QAIM$ có $QA//MI\Rightarrow QAIM$ là hình thang

$\widehat{QAI}=90^o,\widehat{AIM}=90^o$ nên $QAIM$ là hình thang vuông tại A, I.

$S_{QAIM}=\dfrac{(AQ+MI).AI}2$

$AI=\dfrac R2$

$\Delta OBC$ đều vì $OC=OB=BC=R$

$\widehat{QCA}=\widehat{OCB}=60^o$ (do cùng phụ với $\widehat{ACO}$)

$QA=QC$ (tích chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow \Delta QAC$ đều 

$\Rightarrow QA=AC=\sqrt{AB^2-BC^2}$ (pitago $\Delta ABC\bot C$)

$=\sqrt{4R^2-R^2}=R\sqrt3$

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta MIB\bot I:$

$\tan\widehat{MBI}=\dfrac{IM}{IB}$

$\Rightarrow IM=IB.\tan\widehat{MBI}=\dfrac{3R}2.\tan60^o=\dfrac{3R\sqrt3}2$

$\Rightarrow S_{QAIM}=\dfrac{(R\sqrt3+\dfrac{3R\sqrt3}2).\dfrac R2}2=\dfrac{5R^2\sqrt3}8$.