Giải thích các bước giải:

Câu 1:

 a) Ta có:

 Ta tìm các số trong $\left[ {1;200} \right]$ có dạng: $2k,4k,8k,16k,32k,64k,128k(k\in Z)$

+) $1 \le 2k \le 200 \Rightarrow 1 \le k \le 100$$\to $ Có 100 số có dạng $2k$

+) $1 \le 4k \le 200 \Rightarrow 1 \le k \le 50$ $\to $ Có 50 số có dạng $4k$

+) $1 \le 8k \le 200 \Rightarrow 1 \le k \le 25$ $\to $ Có 25 số có dạng $8k$

+) $1 \le 16k \le 200 \Rightarrow 1 \le k \le 12$ $\to $ Có 12 số có dạng $16k$

+) $1 \le 32k \le 200 \Rightarrow 1 \le k \le 6$ $\to $ Có 6 số có dạng $32k$

+) $1 \le 64k \le 200 \Rightarrow 1 \le k \le 3$ $\to $ Có 3 số có dạng $64k$

+) $1 \le 128k \le 200 \Rightarrow k = 1$ $\to $ Có 1 số có dạng $128k$

Như vậy số mũ của $2$ trong khai triển $200!$ là:

$1.7+3.6+6.5+12.4+25.3+50.2+(100-50-25-12-6-3-1).1=281$

Vậy số mũ của $2$ trong khai triển $200!$ là: $281$

b) Giả sử bạn sinh ngày 01/05/1977 thì $a=1+5=6$

Ta cần tìm số dư của $2020^6$ cho 11

Ta có:

$2020 \equiv 7\left( {\bmod 11} \right) \Rightarrow {2020^6} \equiv {7^6}\left( {\bmod 11} \right)$

Mà ${7^3} \equiv 2\left( {\bmod 11} \right) \Rightarrow {7^6} \equiv {2^2}\left( {\bmod 11} \right) \Rightarrow {7^6} \equiv 4\left( {\bmod 11} \right)$

Nên ${2020^6} \equiv 4\left( {\bmod 11} \right)$

Vậy ${2020^6} \equiv 4\left( {\bmod 11} \right)$

Câu 2:

a) Đề sai vì $5x^* +x^2 +5x+25 = 1(mod 6)$ không là phương trình đồng dư.

b) Ta có:

$\left( {17,47} \right) = 1$ nên áp dụng ĐL Euler ta có:

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow {17^{\varphi \left( {47} \right)}} \equiv 1\left( {\bmod 47} \right)\\
 \Rightarrow {17^{46}} \equiv 1\left( {\bmod 47} \right)\\
 \Rightarrow {17^{46}}.2 \equiv 2\left( {\bmod 47} \right)\\
 \Rightarrow 17.\left( {{{2.17}^{45}}} \right) \equiv 2\left( {\bmod 47} \right)
\end{array}$

Khi đó: 

$17x \equiv 2\left( {\bmod 47} \right) \Leftrightarrow x \equiv {2.17^{45}}\left( {\bmod 47} \right)$

Vậy $x \equiv {2.17^{45}}\left( {\bmod 47} \right)$ là nghiệm của phương trình.

c) Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x \equiv 2\left( {\bmod 5} \right)\\
x \equiv 2\left( {\bmod 9} \right)\\
x \equiv 3\left( {\bmod 13} \right)
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \equiv 2\left( {\bmod 45} \right)\\
x \equiv 3\left( {\bmod 13} \right)
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \equiv  - 88\left( {\bmod 45} \right)\\
x \equiv  - 88\left( {\bmod 13} \right)
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow x \equiv  - 88\left( {\bmod 585} \right)
\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: $x \equiv  - 88\left( {\bmod 585} \right)$