1 a. Ta có 321 1 - 29" 3-4

9".3 - 2".3+2".7 = 3 (9" --2") +2.7

Ta lại có

"2":9 2= 7:20.77

3P++2+7 (dpem)

b.Gọi biểu thức trên là B ta có:

* B=n2(n^4-1) = n^2(m2+1)(n 2-1) = n2(n2.4+5)(n^2 - 1) = n2n^2 - 1)(n^2 - 4) + n°2(n"2-1).5 = (n-2)(n-1).n^2(n+1)(n+2) + 2(n^2-1) 5 (n-2)(n-1).n^2(n+1)(n+2) cửa tích 5 số liên tiếp chia hết cho 5 và n^2(n^2 - 1).5 cũng chia hết cho 5 > B chia hết cho 5

*B=n°2(n^4-1) = n^2(n^2+1)(n*2 -1) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 > B chia hết cho 3

A(n) chia hết

*Bìn^2(n^4-1) = n^2(n^2+1)(n^2 - 1) = n^2(n^2+1)(n+1)(n-1) n chăn = n^2 chia hết cho 2 cho 2 n lẻ => n+1 và n-1 là 2 số chẵn = (n+1)(n-1) chia hết cho 2 => A(n) chia hết cho 2 > B chia hết cho 2

Vi: 3,2,5 nguyên tố cùng nhau => Chia hết cho

3.2.5 = 30

2.hiểu dầu "" là kí hiệu đồng dư nhé 32 9 (mod72) gol n=2k do n chân nên 3" 9 (mod 72)

3n+63:9+63:72

>30-63 chia hết cho 72

3.a,b lẻ nên suy ra: (a-1)(b-1) chia hết cho 4.

Ta đặt a=(2k-1)=(2k+1)2

=>(m-1)-4k(k-1) (n-1)=4k(k+1),

(k thuộc Z)

=>(m-1)(n-1)=16k2(k-1)(k+1) Mà k(k+1)(k+1) chia hết cho3 (3 số nguyên liên tiếp).

Do k(k-1) và k(k+1) chia hết cho 2 nên suy ra: kệ(k+1)(k-1) chia hết cho 12.

=>(a-1)(b-1)=16k (k+1)(k-1) chia hết cho 192 khi m là SCP lẻ liên tiếp

4.Ta có: p4-1=(p2)2-1=p2-1).(p2+1)=(p-1).(p+1)

(p+1) Vip là số nguyên tố lớn hơn 5 =>ple >p-1 và p+2 là 2 số chân liên tiếp => -1)P+1) chia hết cho 8

Vip lép? lép?+1 chan=>p?+1 chia hết cho 2

>P-1) (P+1) (p+1) chia hết cho 16

>p-1 chia hết cho 16(1) Lai có: p là số nguyên tố lớn hơn 5 >p không chia hết cho 3

=>pt chia 3 dư 1

=>p?1 chia hết cho 3(2) Mặt khác p là số nguyên tố lớn hơn 5 >p có 4 dạng 5k+1,5k+1,5k+3,5k+4

-Với p=5k+1=>p-1 chia hết cho 5=>(2-1) (p+1)

(p2)-1 chia hết cho 5 >p-1 chia hết cho 5

-Với p:5k+2=>p?+1=(5k+2)2.1= (5k)2+2.2.5k+22+1=5.5.k2+5.4 k+5 chia hết cho

>(2-1).(P+1) (p2)-1 chia hết cho 5 >p.1 chia hết cho 5

-Với p=5k+3=>pº-1=(5k+3)2-1= (5k)2+2.3.5k+32+1=5.5k+5.6 k+10 chia hết cho 5

=>(p-1).(p+1).(p)-1 chia hết cho 5

=>p.1 chia hết cho 5

-Với p=5k+4=>p+1 chia hết cho 5>(n-1)(n+1).

(p2-1 chia hết cho 5

>p4-1 chia hết cho 5

>p-1 chia hết cho 5(3) Tư (1),(2) và (3) ta thấy:

p-1 chia hết cho 16,3,5

ma (16,3,5)-1

>p4-1 chia hết cho 16.3.5

=>p 1 chia hết cho 240

=>DPCM

5.Ta có; 60 = 3,4,5 Đặt M = abc

Nếu a, b, c đều không chia hết cho 3 > a, bè và c2 chia hết cho 3 đều dư 1-> a khác b2+ c? Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 3. Vậy M

3

Nếu a, b, c đều không chia hết cho 5 => a?, b?

và c2 chia 5 dư 1 hoặc 4 > b + c chia 5 thi dư 2 0 hoặc 3.

> a? khác b + c Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 5 Vậy M: 5 Nếu a, b, c là các số lẻ b2 và c? chia hết cho 4 du 1.

> b + c = 4 du 1 => ? khác b? + c^ Do đó 1 trong 2 số a, b phải là số chẵn Giả sử b là số chẵn Nếu c là số chẵn => M : 4.

Nếu c là số lẻ mà a? = b2 +c? => a là số lẻ

(a -c) (a + b)= (94)(424) chân b:1-M:1

Vây M = abc 3, 4, 5 = 60