a) Xét $ΔHBA$ và $ΔABC$ có:

$\widehat{AHB}=\widehat{CAB}=90^{\circ}$

$\widehat{B}$ là góc chung

$⇒ΔHBA\simΔABC$ (g-g)

b) Áp dụng định lí Pitago vào $ΔABC \bot A$

$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=12^{2}+16^{2}=400$

$\Rightarrow BC=20cm$

$S_{ΔABC}=\dfrac{1}{2}·AB·AC$

$S_{ΔABC}=\dfrac{1}{2}·AH·BC$

$⇒AB·AC=AH·BC⇒ AH=\dfrac{AB·AC}{BC}=\dfrac{12·16}{20}=9,6cm$

Từ $ΔHBA\simΔABC⇒ \dfrac{AH}{AC}=\dfrac{HB}{AB}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

$⇒HB=\dfrac{AH·AB}{AC}=\dfrac{9,6·12}{16}=7,2cm$

c) $ΔABC$ có $AD$ là đường phân giác, theo tính chất đường phân giác ta có:

$⇒\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{12}{16}=\dfrac{3}{4}$

$S_{ΔABD}=\dfrac{1}{2}·AH·BD$

$S_{ΔACD}=\dfrac{1}{2}·AH·DC$

$⇒\dfrac{S_{ΔABD}}{S_{ΔACD}}=\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{3}{4}$