$\\$

a,

BE=EF (gt) mà B,E,F thẳng hàng nên E là trung điểm của BF

D đối xứng A qua E (gt) nên E là trung điểm của AD

Tứ giác ABDF có :

E là trung điểm của BF, AD (cmt)

⇔ ABDF là hình bình hành

b,

Tứ giác ABHC có :

góc A = 90 độ (gt)

góc ABH = 90 độ (gt)

góc ACH = 90 độ (gt)

⇔ ABHC là hình chữ nhật

Mà AH, BC là 2 đường chéo

⇒ AH cắt BC tại trung điểm mỗi đường

Mà O là trung điểm của AH (gt)

⇒ O là trung điểm của BC

⇒ B,O,C thẳng hàng

c,

ABHC là hình chữ nhật (cmt) 

⇒ AB//HC, AB = HC (2 cạnh đối) và AH=BC (2 đường chéo)

ABDF là hình bình hành (cmt)

⇒ AB = DF, AB//DF (2 cạnh đối) 

AB = DF, AB = HC (cmt) 

⇒ DF = HC

AB//DF, AB//HC (cmt)

⇒ DF//HC

Tứ giác DHCF có :

DF//HC (cmt)

DF=HC (cmt)

⇔ DHCF là hình bình hành

⇒ DH = CF (2 cạnh đối)

CF + EF + BE = BC mà CF = EF = BE (gt)

⇒ CF = 1/3 BC

Mà DH = CF, AH = BC (cmt)

⇒ DH = 1/3 AH

⇒ DH/AH = 1/3