Giải thích các bước giải:

1.Vì $ABCD$ là hình chữ nhật

$\to AD\perp AB$ 

Mà $AK\perp BD\to \widehat{DAK}=\widehat{ABK}(+\widehat{KAB}=90^o)$

Mà $\widehat{AKD}=\widehat{AKB}=90^o$

$\to\Delta KAB\sim\Delta KDA(g.g)$

2.Ta có $\widehat{AKD}=\widehat{BAD}=90^o\to\Delta DKA\sim\Delta DAB(g.g)$

$\to\dfrac{DK}{DA}=\dfrac{DA}{DB}\to DA^2=DK.DB\to DK=\dfrac{DA^2}{DB}$

Vì $AB=8,AD=6\to DB^2=AD^2+AB^2=100\to BD=10$

$\to DK=\dfrac{8^2}{10}=\dfrac{32}{5}$

3.Vì $\Delta DKA\sim\Delta DAB$

$\to\dfrac{DA}{DB}=\dfrac{DK}{DA}$

Mà $DM,DP$ là phân giác $\widehat{ADK}$

$\to\dfrac{MA}{MK}=\dfrac{DA}{DK},\dfrac{PA}{PB}=\dfrac{DA}{DB}$

$\to\dfrac{PA}{PB}=\dfrac{MK}{MA}\to AP.AM=BP.KM$

4.Ta có : $\hat A=90^o,NE\perp AB,NF\perp AD\to \Diamond AENF$ là hình chữ nhật

$\to \widehat{AEF}=\widehat{NAE}=\widehat{OAB}=\widehat{OBA}\to EF//BD$

Vì $NEAF$ là hình chữ nhật $\to NA\cap EF=G$ là trung điểm mỗi đường

$\to G$ là trung điểm EF

Ta có $EF//BD$

$\to\dfrac{IE}{ID}=\dfrac{EF}{BD}=\dfrac{2GE}{2DO}=\dfrac{GE}{DO}$

Mà $\widehat{GEI}=\widehat{IDO}(EF//BD)\to\Delta GEI\sim\Delta ODI(c.g.c)$
$\to\widehat{GIE}=\widehat{DIO}\to G,I,O$ thẳng hàng

$\to I\in GO\to I\in AO\to A,I,O$ thẳng hàng