a) vì E là điểm đối xứng của B qua C

⇒ BC=CE

vì F là điểm đối xứng của D qua F

⇒BC=CE

xét tứ giác BDEF có:

BC=CE

BC=CE

⇒BDEF là hình bình hành (1)

vì ∠BCD=90 độ(gt)

⇒BE⊥DF (2)

từ (1) và (2) suy ra:

tứ giác BDEF là hình thoi

(đpcm)

b) vì ABCD là hình chữ nhật

⇒AC=BD(tính chất 2 đường chéo của hình chữ nhật) (3)

mà BDEF là hình thoi

⇒DE=BD ( tính chất của hình thoi) (4)

từ (3) và (4) suy ra:

AC=BD

xét tứ giác ACED có

AC=DE(cnt)

AD=CE(vì CE=BC mà BC=AD)

⇒ACED là hình bình hành

⇒AC//DE

(đpcm)

vì ACED là hình bình hành

nên các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

mà DH=HC

⇒AC cắt DC=H

⇒A,C,H thẳng hàng

(đpcm)

c) để tứ giác BDEF là hình vuông

⇒∠DBC=∠BFE=∠FED=∠EDB=90 độ

mà tứ giác BDEF là hình thoi

⇒∠DBE=∠FBE=90/2=45 độ

mà tứ giác ABCD là hìn chữ nhật

⇒∠ABC=90 độ

mà ∠ABD+∠DBC=∠ABC=90 độ

⇒∠ABD=45 độ

⇒BD là tia phân giác 

⇒ABCD là hình vuông

d)   kẻ AD⊥NE tại N

xét ΔAED có:

SΔAED=1/2.AD.NE (5)

xét tứ giác DCEN có:

∠CDN=90 độ(vì ∠ADC=90 độ)

∠DCE=90 độ(vì BE⊥DF)

∠DNC=90 độ(vì AD⊥NE)

⇒DCEN là hình chữ nhật

⇒NE=DC 

mà DC=AB

⇒NE=AB

từ (5) ⇒SΔADE=1/2.AD.AB(6)

xét hình chữ nhật ABCD có:

S ABCD=AB.AD(7)

từ (6) và (7) suy ra :

S ABCD=2 SΔADE

(đpcm)