Giải thích các bước giải:

+ Gọi F, H lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ E,M xuống AC

Tam giác ABC vuông cân tại A nên đặt AB=AC=a thì \(BC=\sqrt{2}a\)

Ta có MH//AB (vì cùng vuông góc với AC) nên ta có:

\(\frac{MH}{AB}=\frac{HC}{AC}=\frac{CH}{BC}=\frac{1}{2}\Rightarrow MH=HC=\frac{a}{2}\)

Xét tam giác KHM vuông tại H và tam giác GAC vuông tại A có:

\(\widehat{MKH}=\widehat{AGC}(=90^0-\widehat{GCA})\)

\(\Rightarrow \Delta KHM\sim GAC\\\Rightarrow \frac{KH}{MH}=\frac{GA}{AC}=\frac{GA}{AB}=\frac{1}{3}\\\Rightarrow KH=\frac{MH}{3}=\frac{a}{6}\)

Khi đó: \(KA=HA-HK=(AC-HC)-HK=\frac{a}{3}=\frac{AC}{3}\) hay \(\frac{KA}{AC}=\frac{1}{3}=\frac{GA}{AB}\)

Suy ra GK//BC

\(\Rightarrow \frac{EF}{MH}=\frac{KE}{EM}=\frac{GK}{MC}=\frac{BC}{3}:\frac{BC}{2}=\frac{2}{3}\Rightarrow EF=\frac{2}{3}MH=\frac{a}{5}\)

Lại có: \(\frac{KF}{KH}=\frac{EF}{MH}=\frac{2}{3}\Rightarrow KF=\frac{2}{5}KH=\frac{a}{15}\)

Ta có: \(\frac{DA}{DH}=\frac{GA}{MH}=\frac{a}{3}:\frac{a}{2}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{DA}{AH}=2\Rightarrow DA=a\)
Tam giác DEF vuông tại F có: \(DE^2=DF^2+EF^2=(DK+AK+KF)^2+EF^2=2a^2=BC^2\Rightarrow DE=BC\)

+ Theo câu a có: \(\frac{DG}{DM}=\frac{DA}{DH}=\frac{2}{3}\Rightarrow S_{DPM}=\frac{3}{2}S_{DPG}\)

Vì \(\frac{KE}{EM}=\frac{2}{3}\Rightarrow S_{KEP}=\frac{2}{3}S_{MEP}\)

Mà hai tam giác chung đáy EP nên chiều cao hạ từ K bằng \(\frac{2}{3}\) chiều cao hạ từ M

\(\Rightarrow S_{DPK}=\frac{2}{3}S_{DPM}=S_{DPG}\)

Mà hai tam giác có chung chiều cao hạ từ D nên đáy PK=PG

Hay P là trung điểm KG

Tam giác KGE vuông tại E có P là trung điểm KG nên \(PG=PK=PE\)