Giải thích các bước giải:

 Ta có:

Hàm số đã cho xác định  trên \(R\) nên xác định tại \(x = 3\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = \left| {x - 3} \right|\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \left| {3 - 3} \right| = 0
\end{array}\)

Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right)\) nên hàm số đã cho liên tục tại \(x = 3\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}
f'\left( 3 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 3 \right)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left| {x - 3} \right| - \left| {3 - 3} \right|}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left| {x - 3} \right|}}{{x - 3}}\\
x \to {3^ + } \Rightarrow x > 3 \Rightarrow \left| {x - 3} \right| = x - 3 \Rightarrow f'\left( 3 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 3 \right)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{x - 3}}{{x - 3}} = 1\\
x \to {3^ - } \Rightarrow x < 3 \Rightarrow \left| {x - 3} \right| =  - \left( {x - 3} \right) \Rightarrow f'\left( 3 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 3 \right)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{3 - x}}{{x - 3}} =  - 1
\end{array}\)

Ta thấy, \(f'\left( 3 \right)\) có thế nhận 2 giá trị khác nhau là \(1\) và \(- 1\). Do đó hàm số đã cho không có đạo hàm tại \(x = 3\).

Với mọi điểm $x_o\in\mathbb{R}$, ta có:

$\lim\limits_{x\to x_o}f(x)=|x_o-3|=f(x_o)$

Do đó hàm $y=|x-3|$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

$\Rightarrow y=|x-3|$ liên tục tại $x=1$

$y=|x-3|=\sqrt{(x-3)^2}$

$y'=\dfrac{[(x-3)^2]'}{2|x-3|}$

$=\dfrac{x-3}{|x-3|}$

$\Rightarrow y$ không có đạo hàm tại $x=3$ do không tồn tại $y'(3)$.