$A = \{\alpha_1 = (2,1,1);\alpha_2 = (2,-1,1);\alpha_3 = (1,2,1)\}$

$B = \{\beta_1 = (3,1,-5);\beta_2 = (1,1,-3);\beta_3 = (-1,0,2)\}$

Xét ma trận $A$ là ma trận mà các vector của $A$ là các hàng:

$\begin{array}{l}\kern25pt A = \left(\matrix{2&1&1\\2&-1&1\\1&2&1}\right)\\
\xrightarrow{\begin{array}{l}r_2 - r_1 \to r_2\\r_3 - \tfrac12r_1 \to r_3\end{array}}
 \left(\matrix{2&1&1\\0&-2&0\\0&\dfrac32&\dfrac12}\right)\\
\xrightarrow{r_3 + \tfrac34r_2 \to r_3}
 \left(\matrix{2&1&1\\0&-2&0\\0&0&\dfrac12}\right)\\
\Rightarrow r(A) =3 \\
\Rightarrow \text{A là một cơ sở của $\Bbb R^3$}
 \end{array}$

Xét ma trận $B$ là ma trận mà các vector của $B$ là các hàng:

$\begin{array}{l}\kern25pt B = \left(\matrix{3&1&-5\\1&1&-3\\-1&0&2}\right)\\
\xrightarrow{\begin{array}{l}r_2 - \tfrac13r_1 \to r_2\\r_3 - \tfrac13r_1 \to r_3\end{array}}
\left(\matrix{3&1&-5\\0&\dfrac23&-\dfrac43\\0&\dfrac13&\dfrac13}\right)\\
\xrightarrow{r_3 - \tfrac12r_2 \to r_3}
\left(\matrix{2&1&1\\0&\dfrac23&-\dfrac43\\0&0&1}\right)\\
\Rightarrow r(B) =3 \\
\Rightarrow \text{B là một cơ sở của $\Bbb R^3$}
 \end{array}$

Gọi $\alpha_{1B} = (x_1,x_2,x_3)$ là tọa độ của vector $\alpha_1$ theo cơ sở $B$

$\Leftrightarrow x_1\beta_1 + x_2\beta_2 + x_3\beta_3 = \alpha_1$

$\Leftrightarrow x_1(3,1,-5) + x_2(1,1,-3) + x_3(-1,0,2) = (2,1,1)$

$\Leftrightarrow \begin{cases}3x_1 + x_2 - x_3 = 2\\x_1 + x_2 = 1\\-5x_1 - 3x_2 + 2x_3 = 1\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}x_1 = 3\\x_2 = -2\\x_3 = 5\end{cases}$

$\Rightarrow \alpha_{1B} = (3;-2;5)$

$\Rightarrow {[\alpha_1]}_{B} = \left(\matrix{3\\-2\\5}\right)$

Tương tự, ta được:

${[\alpha_2]}_{B} = \left(\matrix{2\\-3\\1}\right)$

${[\alpha_3]}_{B} = \left(\matrix{\dfrac{5}{2}\\-\dfrac{1}{2}\\6}\right)$

Vậy ma trận chuyển cơ sở cần tìm là:

$P_{B\to A} = \left(\matrix{3&2&\dfrac52\\-2&-3&-\dfrac12\\5&1&6}\right)$