a) Do đường thẳng $d$ vuông góc với AB tại I là trung điểm AB nên $d$ là trung trực AB.

Lại có $C \in d$, vậy CA = CB.

Xét tam giác CIA và CIB có

$CA = CB, IA = IB$ (I là trung điểm AB), $CI$ chung.

Vậy tam giác CIA = tam giác CIB.

b) Do D nằm trên trung trực AB nên DA = DB.

Xét tam giác DIA và DIB có

$DA = DB, IA = IB, DI$ chung

Vậy tam giác DIA = tam giác DIB. Suy ra $\widehat{ADI} = \widehat{IDB}$

Vậy $DI$ là phân giác của $\widehat{ADB}$.

c) Xét tam giác DCA và DCB có

$DA = DB, CA = CB, DC$ chung

Vậy tam giác DCA = tam giác DCB (c.c.c)

Suy ra $\widehat{DAC} = \widehat{DBC}$

Xét tam giác DAM và tam giác DBN có

$\widehat{DAM} = \widehat{DBN}$, $DA = DB$, $\widehat{BDA}$ chung

Vậy tam giác DAM = tam giác DBN (g.c.g)
Do đó DM = DN.

Gọi MN giao DC tại K.

Xét tam giác DNK và DMK có

$DN = DM, \widehat{NDK} = \widehat{MDK}, DK$ chung.

Do đó tam giác DNK = tam giác DMK.

Suy ra $\widehat{DMK} = \widehat{DNK}$

Xét tam giác DMN có

$\widehat{DMK} + \widehat{DNK} + \widehat{NDM} = 180^{\circ}$

$<-> 2\widehat{DMK} = 180^{\circ} - \widehat{NDM}$ (1)

Lại có tam giác DIA = tam giác DIB nên

$\widehat{DAI} = \widehat{DBI}$

Xét tam giác DAB có

$\widehat{DAB} + \widehat{DBA} + \widehat{ADB} = 180^{\circ}$

$<-> 2\widehat{DBA} = 180^{\circ} - \widehat{ADB}$ (2)

Từ (1), (2) ta suy ra

$2\widehat{DMK} = 2\widehat{DBA}$

$<-> \widehat{DMK} = \widehat{DBA}$

Lại có 2 góc ở vị trí đồng vị nên $MN//AB$.