Đáp án:

a) Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta  = {\left( {m - 2} \right)^2} - 4.\left( { - {m^2} + 3m - 4} \right)\\
 = {m^2} - 4m + 4 + 4{m^2} - 12m + 16\\
 = 5{m^2} - 16m + 20\\
 = 5.\left( {{m^2} - \frac{{16}}{5}m + 4} \right)\\
 = 5.\left( {{m^2} - 2.\frac{8}{5}m + \frac{{64}}{{25}} + \frac{{36}}{{25}}} \right)\\
 = 5.{\left( {m - \frac{8}{5}} \right)^2} + \frac{{36}}{5} \ge \frac{{36}}{5} > 0\forall m
\end{array}$

Vậy pt luôn có 2 nghiệm phân biể với mọi m

b)

$\begin{array}{l}
Theo\,Viet:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = m - 2\\
{x_1}{x_2} =  - {m^2} + 3m - 4
\end{array} \right.\\
Do:{x_1}\left( {{x_1} - 2} \right) + {x_2}\left( {{x_2} - 2} \right) = 7\\
 \Rightarrow x_1^2 - 2{x_1} + x_2^2 - 2{x_2} = 7\\
 \Rightarrow \left( {x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2}} \right) - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 7\\
 \Rightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 7 = 0\\
 \Rightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} - 2.\left( { - {m^2} + 3m - 4} \right) - 2\left( {m - 2} \right) - 7 = 0\\
 \Rightarrow 3{m^2} - 12m + 9 = 0\\
 \Rightarrow {m^2} - 4m + 3 = 0\\
 \Rightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m - 3} \right) = 0\\
 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1\\
m = 3
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy m=1 hoặc m=3 thì thỏa mãn.