a) Tứ giác $AIKJ$ có:

$AI\parallel JK$ (cách dựng của đề bài)

$AJ\parallel IK$ (cách dựng của đề bài)

$\Rightarrow $ tứ giác $AIKJ$ là hình bình hành (1) (dấu hiệu nhận biết hình bình hành có 2 cặp cạnh đối song song)

Xét $\Delta $ vuông $ABI$ và $\Delta $ vuông $ADJ$ có:

$AB=AB$ (hai cạnh của hình vuông)

$BI=DJ$ (giả thiết)

$\Rightarrow \Delta $ vuông $ABI=\Delta $ vuông $ADJ$ (2 cạnh góc vuông)

$\Rightarrow AI=AJ$ (2) (hai cạnh tương ứng)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác $AIKJ$ là hình thoi (hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau)

 

b) Tứ giác $AIKJ$ là hình thoi có $O=AK\cap IJ$

$\Rightarrow AK\bot IJ$ hay $OA\bot IJ$ (3)

và $O$ là trung điểm của $IJ$

Ta có: $CJ=CI$ $(=CD+DJ=CB+BI)$

$\Rightarrow \Delta CIJ$ vuông cân đỉnh $C$

có $O$ là trung điểm của $IJ$ $\Rightarrow CO$ là trung tuyến cũng là đường cao

$\Rightarrow CO\bot IJ$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $OA\parallel OC$ và $K\in OA$

$\Rightarrow O,A,C,K$ thẳng hàng (đpcm).