b) CM: AB²=AM.AD và tứ giác AMHC nội tiếp

Xét ΔABM và ΔADB có:

góc BAD chung

góc ABM = góc ADB (góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung BM)

⇒ ΔABM ~ ΔADB (g.g)

Ta có: góc DMC=$90^{o}$ (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)

⇒ góc AMC=$90^{o}$

Mà góc AHC=$90^{o}$

⇒ tứ giác AMHC nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới cùng một góc $90^{o}$)

 c) Tứ giác AMHC nội tiếp (cmt)

⇒ góc MAC = góc MHB (tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối với đỉnh đó)
Mà góc MAC =$\frac{sđDC-sđ MC}{2}$ =$\frac{sđMD}{2}$ (góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn)

⇒ góc MHB=$\frac{sđMD}{2}$

góc HBM =$\frac{sđMC}{2}$ (góc nội tiếp)

Xét ΔBMH có:

góc MHB + góc MBH = $\frac{sđMD}{2}$+$\frac{sđMC}{2}$=$\frac{sđDC}{2}$=$\frac{180}{2}$=$90^{o}$ 

⇒ góc BMH =180-$90^{o}$=$90^{o}$

⇒ HM là đường cao của ΔBHN

Ta có: góc AMN = góc BMD (đối đỉnh)

góc BMD = góc BCD (cùng chắn cung BD)

góc OBC = góc OCB (ΔBOC cân tại O vì OB=OC=R)

Mà: góc OBC = góc BAO (cùng phụ góc O)

⇒ góc AMN = góc BAO

Xét ΔNAM và ΔNBA có:

góc ANM chung

góc AMN = góc BAO (cmt)

⇒ ΔNAM ~ ΔNBA (g.g)

⇒ $\frac{AN}{NB}$ =$\frac{NM}{AN}$ ⇒ AN²=NB.NM (1)

ΔBHN vuông tại H có HM là đường cao

⇒ HN²=NB.NM (HTL trong tam giác vuông) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ AN²=HN²⇔AN=HN

⇒ N là trung điểm của AH