Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta ACO,\Delta OCD$ có:

$\widehat{CAO}=\widehat{OBD}(=90^o)$

$\widehat{COA}=180^o-\widehat{COD}-\widehat{DOB}=180^o-90^o-\widehat{DOB}=90^o-\widehat{DOB}=\widehat{ODB}$

$\to\Delta OAC\sim\Delta DBO(g.g)$

$\to  \dfrac{OA}{BD}=\dfrac{AC}{OB}$

$\to OA\cdot OB=AC\cdot BD$

Mà $O$ là trung điểm $AB\to OA=OB$

$\to OA^2=AC\cdot BD$

b.Từ câu a

$\to \dfrac{OC}{OD}=\dfrac{OA}{BD}$

$\to\dfrac{OC}{OA}=\dfrac{OD}{BD}$

Mà $\widehat{COD}=\widehat{OBD}(=90^o)$

$\to\Delta COD\sim\Delta OBD(c.g.c)$

$\to \widehat{CDO}=\widehat{ODB}$

$\to DO$ là phân giác $\widehat{CDB}$

Mà $OM\perp DC, OB\perp DB$

$\to OM=OB$

Lại có $O$ là trung điểm $AB$

$\to OM=OB=OA=\dfrac12AB$

$\to\Delta MAB$ vuông tại $M$

c.Ta có:

$MD^2=OD^2-OM^2=OD^2-OB^2=DB^2$

$\to MD=DB$

Từ câu b $\to\widehat{OCD}=\widehat{DOB}=90^o-\widehat{COA}=\widehat{ACO}$ vì $OC\perp OD$

$\to CO$ là phân giác $\widehat{ACM}$

Mà $OM\perp CM, OA\perp CA$

$\to OM=OA$

$\to CM=\sqrt{OC^2-OM^2}=\sqrt{OC^2-OA^2}=AC$

Ta có $AC//DB(\perp AB)$

$\to \dfrac{NA}{ND}=\dfrac{AC}{BD}=\dfrac{MC}{MD}$

$\to MN//AC$