Đáp án:

${{v}_{TB}}=\dfrac{3.{{v}_{1}}.(2{{v}_{2}}+{{v}_{3}})}{2{{v}_{2}}+{{v}_{3}}+6{{v}_{1}}}$

Giải thích các bước giải:

$\begin{align}
  & {{S}_{1}}=\dfrac{1}{3}AB;{{v}_{1}} \\ 
 & t{{'}_{2}}=\dfrac{2}{3}{{t}_{2}};{{v}_{2}} \\ 
 & t{{'}_{2}}=\dfrac{1}{3}{{t}_{2}};{{v}_{3}} \\ 
\end{align}$

thời gian đi hết 1/3 quãng đường đầu:

${{t}_{1}}=\dfrac{{{S}_{1}}}{{{v}_{1}}}=\dfrac{\dfrac{1}{3}AB}{{{v}_{1}}}=\dfrac{AB}{3{{v}_{1}}}(1)$

quãng đường đi được trong 2/3 thời gian còn lại:

$S{{'}_{2}}={{v}_{2}}.t{{'}_{2}}={{v}_{2}}.\dfrac{2}{3}{{t}_{2}}=\dfrac{2}{3}{{v}_{2}}.{{t}_{2}}(2)$

quãng đường đi trong 1/3 thời gian còn lại:

$S'{{'}_{2}}={{v}_{3}}.t'{{'}_{2}}={{v}_{3}}.\dfrac{1}{3}{{t}_{2}}=\dfrac{1}{3}{{v}_{3}}.{{t}_{3}}(3)$

Mà ta có: 

$\begin{align}
  & {{S}_{2}}=S{{'}_{2}}+S'{{'}_{2}} \\ 
 & \Leftrightarrow \dfrac{2AB}{3}=\dfrac{2}{3}{{v}_{2}}.{{t}_{2}}+\dfrac{1}{3}{{v}_{3}}.{{t}_{2}} \\ 
 & \Leftrightarrow {{t}_{2}}=\dfrac{2AB}{3}:(\dfrac{2}{3}{{v}_{2}}+\dfrac{1}{3}{{v}_{3}}) \\ 
 & =\dfrac{2AB}{2{{v}_{2}}+{{v}_{3}}} \\ 
\end{align}$

Vận tốc trung bình:

$\begin{align}
  & {{v}_{TB}}=\dfrac{{{S}_{1}}+{{S}_{2}}}{{{t}_{1}}+{{t}_{2}}}=\dfrac{AB}{\dfrac{AB}{3.{{v}_{1}}}+\dfrac{2AB}{2{{v}_{2}}+{{v}_{3}}}} \\ 
 & =\dfrac{3.{{v}_{1}}.(2{{v}_{2}}+{{v}_{3}})}{2{{v}_{2}}+{{v}_{3}}+6{{v}_{1}}} \\ 
\end{align}$