a) Xét tứ giác MEHF có

$\widehat{MFH} = \widehat{FHE} = \widehat{HEM} = 90^{\circ}$

Vậy tứ giác MEHF là hình chữ nhật, suy ra $ME//HF$

Lại có M là trung điểm AC nên ME là đường trung bình của tam giác AHC.

Suy ra E là trung điểm AH, hay AE = EH.

Lại có tứ giác MEHF là hình chữ nhật nên EH = MF.

Vậy MF = AE (=EH).

b) Do M là trung điểm NB nên MN = MB.

Lại có M là trung điểm AC, do đó M là tâm đxung của ABCN.

Vậy ABCN là hình bình hành, suy ra CN // AB.

Lại có $AB \perp AC$, suy ra $CN \perp AC$.

Xét tam giác vuông NCA có CK là đường trung tuyến ứng vs cạnh huyền nên

$CK = \dfrac{1}{2} AN$.

Lại có tứ giác ABCN là hình bình hành nên $BC = AN$.

Vậy 

$CK = \dfrac{1}{2} BC$.