Câu 4

a) Do D là trung điểm AB nên AD = DB.

Mặt khác, do E đxung vs M qua D nên DM = DE.

Vậy tứ giác AEBM có tâm đối xứng là D. Vậy AEBM là hình bình hành.

Do M, D là trung điểm BC, AB nên MD là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra MD//CA.

Lại có $CA \perp AB$ nên $MD \perp AB$ hay $ME \perp AB$.

Xét hình bình hành AEBM có $ME \perp AB$.

Vậy AEBM là hình thoi.

b) Do MD là đường trung bình của tam giác ABC nên

$MD = \dfrac{1}{2} AC = \dfrac{1}{2} . 4 = 2$ (cm)

Lại có tứ giác AEBM là hình thoi nên AB giao ME tại trung điểm mỗi đường, lại có D là trung điểm AB. Suy ra D là trung điểm ME.

Vậy

$MD = DE = \dfrac{1}{2} ME$

Suy ra

$ME = 2 MD = 4$ (cm)

Vậy diện tích của tứ giác AEBM là

$S_{AEBM} = \dfrac{1}{2} . AB . ME = \dfrac{1}{2} . 4.3 = 6$ ($cm^2$).

Áp dụng Pytago trong tam giác MDA ta có

$MA^2 = MD^2 + DA^2=2^2 + (1,5)^2$

Vậy $MA = 2,5$ (cm)

Do đó chu vi của tứ giác AEBM là

$P_{AEBM} = 4.MA = 10$ (cm)

c) Ta có 

$AC = 2 MD = ME$.

Vậy ME = AC.

Xét tứ giác ME//AC (cùng vuông góc với AB), ME = AC.

Do đó tứ giác MEAC là hình bình hành.

d) Do tứ giác MEAC là hình bình hành nên AM giao EC tại trung điểm mỗi đường.

Lại có I là trung điểm AM nên I là trung điểm EC.

Vậy E, I, C thẳng hàng.