`a)` Có:

`-`  `D` là trung điểm `AB`

`-`  `E` là trung điểm `AC`

`->  DE` là đường trung bình của `ΔABC`

`->  DE////BC`  `->` Tứ giác `DEBC` là hình thang.

`*` Xét `ΔABC` cân tại `A` `->`$\widehat{B}=\widehat{C}$ (`2` góc đáy của tam giác cân).

`⇒` Tứ giác `DEBC` là hình thang cân.

  

`b)`

`*`Ta có:

`-`    `E` là trung điểm của `AC`   ( Dữ kiện đề bài)

`-`   `F` là điểm đối xứng của `H` qua `E` `->` `E` cũng là trung điểm của `HF`

`->` Tứ giác `AFHC` là hình bình hành  ( Có `2` đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

`*` Lại có:

`ΔABC` cân tại `A` có `AH` vừa là trung tuyến vừa là đường cao

`AH⊥BC     ->`$\widehat{AHC}=90^o$

`*`

Hình bình hành `AFHC` có `1` góc vuông `⇒`  `AFHC` là hình chữ nhật   ( đpcm)

  

`c)`

`AF////DG////BC`

`*` Xét  `ΔABC` có:

`-`  `E` là trung điểm `AC`

`-`  `H` là trung điểm `BC`

`⇒`  `HE` là đường trung bình của `ΔACB` `-> HE////AB`

 `∴` Tứ giác  `AFED` có :  `AF////DE` và `AD////EF` `->` Tứ giác `AFED` là hình bình hành.

`->` `2` đường chéo `EA` và `DF` cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Hay `M` là trung điểm của `AE` và `DF`.

 `*` Xét `ΔABC` có:

`-`  `D` là trung điểm `AB`

`-`  `H` là trung điểm `BC`

`⇒` `DH` là đường trung bình của `ΔACB` `-> DH////AC`

`∴` Tứ giác `DECH` có: `DE////HC` và `DH////EC`   `->` Tứ giác `DECH` là hình bình hành

`->` `2` đường chéo `DC` và `HE` giao nhau tại trung điểm mỗi đường. Hay `N` là trung điểm của cả `DC` và `EH`.

`*`

Xét `ΔAEH` có:

`-`  `M` là trung điểm `AE`  (cmt)

`-`   `N` là trung điểm `EH` (cmt)

`⇒ MN ` là đường trung bình của `ΔAEH`  `-> MN////AH`

`*`

\(\begin{cases} AH⊥BC \\ DE//BC\\ MN//AH \end{cases}\) `-> MN⊥DE` (đpcm)