Giải thích các bước giải:

a.Ta có $AB\perp AC, AH\perp BC\to\widehat{AHB}=\widehat{BAC}=90^o$ 

$\to\Delta ABH\sim\Delta CBA(g.g)$

b.Vì $DE//AH\to DE\perp BC\to\widehat{CDE}=\widehat{CAB}=90^o$

$\to\Delta CDE\sim\Delta CAB(g.g)$
$\to\dfrac{CD}{CA}=\dfrac{CE}{CB}\to CE.CA=CD.CB$

c.Vì $HA=HD,AH\perp HD\to \Delta AHD$ vuông cân 

Từ câu b$\to\dfrac{CA}{CB}=\dfrac{CD}{CE}$

Mà $\widehat{ACD}=\widehat{ECB}$

$\to\Delta CAD\sim\Delta CBE(g.g)$

$\to\widehat{CAD}=\widehat{CBE}$

$\to\widehat{AEB}=\widehat{CBE}+\widehat{ECB}=\widehat{DAC}+\widehat{ACD}=\widehat{ADH}=45^o$ 

Do $AB\perp AE\to \Delta ABE$ vuông cân $\to AB=AE$

d.Trên AH lấy điểm F sao cho $\widehat{AMF}=\widehat{MBH}$

Ta có $\Delta ABE, AHD$ vuông cân tại A,H

Vì M là trung điểm BE$\to AM\perp BE\to \Delta AMB$ vuông cân tại M

$\to\widehat{BAH}+\widehat{HAM}=\widehat{BAM}=45^o$

Mà $\widehat{EBC}+\widehat{ECB}=\widehat{AEB}=45^o\to\widehat{MBH}+\widehat{ACB}=45^o$

$\to\widehat{MBH}+\widehat{BAH}=45^o$ vì $\widehat{BAH}=\widehat{ACB} (câu a)$
$\to \widehat{HBM}=\widehat{MAF}$

Do $\widehat{AMF}=\widehat{BMH}$ (cách vẽ)

$\to\Delta AFM\sim\Delta BHM(g.g)$

$\to\dfrac{AF}{BH}=\dfrac{AM}{BM}\to AM.BH=AF.BM$

Ta có $\widehat{FMH}=\widehat{BMF}+\widehat{HMB}=\widehat{BMF}+\widehat{FMA}=\widehat{BMA}$

Ta có $\Delta AFM\sim\Delta BHM(cmt)$

$\to\dfrac{FM}{HM}=\dfrac{AM}{BM}=1$ vì $\Delta ABE$ vuông cân tại A,$AM\perp BE\to AM=BM$

$\to\Delta MFH$ vuông cân tại M

$\to\Delta MHF\sim\Delta MBA$
$\to\dfrac{MH}{MB}=\dfrac{HF}{AB}\to MH.AB=HF.BM$

$\to AB.MH+AM.BH=HF.BM+AF.BM=BM(HF+AF)=BM.AH\to đpcm$