Đáp án: 

Giải thích các bước giải:

Gỉa sử ta có: 2010 + n² là số chính phương thì 2010 + n² = m² (m ∈ N)
  ⇒ m² - n² = 2010
<=> (m + n)(m – n) = 2010
  ⇒ trong 2 số m và n phải có ít nhất 1 số là số chẵn (1)
Mặt khác, ta có: m + n + m – n = 2m
=> 2 số m + n và m – n cùng tính chẵn lẻ (2)
Từ (1) và (2),
=> m + n và m – n là 2 số chẵn.
=> (m + n) (m – n) chia hết cho 4 nhưng 2006 không chia hết cho 4
=> Điều giả sử sai.

Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2006 + n² là số chính phương.

Giả sử 2010 + n² là số chính phương thì 2010 + n² = m² (m ∈ N)
Từ đó suy ra m² - n² = 2010
<=> (m + n)(m – n) = 2010
Như vậy trong 2 số m và n phải có ít nhất 1 số chẵn (1)
Mặt khác m + n + m – n = 2m
=> 2 số m + n và m – n cùng tính chẵn lẻ (2)
Từ (1) và (2)
=> m + n và m – n là 2 số chẵn.
=> (m + n) (m – n) chia hết cho 4 nhưng 2006 không chia hết cho 4
=> Điều giả sử sai. Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2006 + n² là số chính phương.