Đáp án:

 1) Xét tứ giác BFEC có:

   BFC = BEC = 90 độ (do BE ⊥ AC, CF ⊥ AB)

Mà hai đỉnh E và F kề nhau cùng nhìn cạnh BC dưới 1 góc vuông

⇒ Tứ giác BFEC nội tiếp 

Chứng minh tương tự ta được tứ giác AEDB nội tiếp

2) AE.AC=AF.AB

⇒ $\frac{AE}{AF}$ = $\frac{AB}{AC}$ 

Vì tứ giác BEFC nội tiếp (cmt)

⇒ AEF = ABC (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó)

Xét ΔAEF và ΔABC có:

Góc A chung

AEF = ABC (cmt)

Do đó: ΔAEF = ΔABC (g-g)

Suy ra: $\frac{AE}{AF}$ = $\frac{AB}{AC}$

hay AE.AC=AF.AB (đpcm)

3) Xét tứ giác CEHD ta có:

Góc CEH = 90⁰ (Vì BE là đường cao)

Góc CDH = 90⁰ (Vì AD là đường cao)

=> góc CEH + góc CDH = 180⁰

Mà góc CEH và góc CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD.

⇒ CEHD là tứ giác nội tiếp

Vì tứ giác BEFC nội tiếp (cm câu a)

⇒ Bốn điểm B,E,F,C cùng thuộc 1 đường tròn

⇒ FCB = FEB  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF) (1)

Vì tứ giác CEHD nội tiếp (cmt)

⇒ HCD = HED (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD)

hay FCB = HED (2)

Từ (1) và (2) ⇒ FEB = HED ⇒ EB là tia phân giác của góc FED.

Chứng minh tương tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. (đpcm)

5)

Ta có góc FCB = góc BAD (vì cùng phụ với góc ABC) hay FCB = BAM (3)

góc BAM = góc BCM (4) ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM) 

Từ (3) và (4) ⇒ FCB = BCM 

⇒ CB là tia phân giác của góc HCM

Xét ΔCHM có:

CB là tia phân giác của góc HCM

CB ⊥ HM  (gt)

⇒ Δ CHM cân tại C

⇒ CB cũng là đương trung trực của HM

Vậy H và M đối xứng nhau qua BC.

6) Kẻ tiếp tuyến At

Giải thích các bước giải: