Đáp án:

1.  Xét tứ giác ABEK có ˆAEB=ˆAKB=900AEB^=AKB^=900 ⇒ tứ giác ABEK nội tiếp đường tròn đường kính AB.

2. Vì tứ giác ABEK nội tiếp nên ˆABC=ˆEKCABC^=EKC^ (cùng bù với ˆAKEAKE^)

Xét tam giác CAB và CEK có ˆACBACB^ chung, ˆABC=ˆEKCABC^=EKC^(cmt)

⇒ΔCAB∼ΔCEK(g.g)⇒CACE=CBCK⇒ΔCAB∼ΔCEK(g.g)⇒CACE=CBCK (các cạnh tương ứng)

⇒CE.CB=CK.CA⇒CE.CB=CK.CA

3. Kẻ OD ⊥ Ac tại D

Ta có ˆABC=12ˆAOCABC^=12AOC^(góc nội tiếp và góc ở tam cùng chắn cung AC)

ΔOACΔOAC cân tại O nên đường cao OD đồng thời là phân giác

⇒ˆAOD=12ˆAOC⇒AOD^=12AOC^

Suy ra ˆAOD=ˆABCAOD^=ABC^

Xét tam giác ABE và ADO có ˆAEB=ˆADO=900AEB^=ADO^=900 , ˆAOD=ˆABCAOD^=ABC^

⇒ΔABE∼ΔADO(g.g)⇒ˆBAE=ˆOAD⇒ΔABE∼ΔADO(g.g)⇒BAE^=OAD^

Mà ˆOAD=ˆOCAOAD^=OCA^(tam giác OAC cân tại O)

⇒ˆOCA=ˆBAE⇒OCA^=BAE^

4. Ta có ˆHBC=ˆFACHBC^=FAC^ (cùng phụ với ˆAHKAHK^)

Mà ˆFAC=ˆFBCFAC^=FBC^(2 góc nội tiếp cùng chắn cung FC)

Suy raˆHBC=ˆFBCHBC^=FBC^.

Do đó tam giác BHF cân tại B (đường cao đồng thời là phân giác) nên BE là trung trực của HF.

Tương tự ta chứng minh được CE là trung trực của HF

⇒ BC là trung trực của HF hay H và F đối xứng nhau qua BC

⇒ Khi A chạy trên đường tròn sao cho tam giác ABC luôn là tam giác nhọn thì F chạy trên cung nhỏ BC

Mà H đối xứng F qua BC nên H chạy trên một cung tròn đối xứng với cung nhỏ BC của đường tròn (O) qua BC. Đường tròn đó có tâm I đối xứng O qua BC.

Suy ra r=R=3cm