a)

Xét $\Delta ABC$ nội tiếp $\left( O \right)$ có $BC$ là đường kính

$\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $A$

Ta có: $\cos B=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{R}{2R}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \widehat{B}=60{}^\circ $

$\Rightarrow \widehat{C}=90{}^\circ -\widehat{B}=90{}^\circ -60{}^\circ =30{}^\circ $

 

b)

Ta có:

$OB=OE=R$

$DB=DE$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow OD$ là đường trung trực của $BE$

$\Rightarrow OD\bot BE$ tại $I$

 

$\Delta BDO$ vuông tại $B$ có $BI$ là đường cao

$\Rightarrow D{{B}^{2}}=DI.DO$ (hệ thức lượng)

$\Delta BDC$ vuông tại $B$ có $BA$ là đường cao

$\Rightarrow D{{B}^{2}}=DA.DC$

Vậy $DI.DO=DA.DC\,\,\,\left( =D{{B}^{2}} \right)$

 

c)

Kéo dài $CE$ cắt $BD$ tại $F$

Ta có: $\begin{cases}\widehat{DBE}+\widehat{DFE}=90{}^\circ\\\widehat{DEB}+\widehat{DEF}=90{}^\circ\end{cases}$

Mà $\widehat{DBE}=\widehat{DEB}$ (vì $DE=DB$ nên $\Delta DEB$ cân tại $D$)

$\Rightarrow\widehat{DFE}=\widehat{DEF}$

$\Rightarrow \Delta DEF$ cân tại $D$

$\Rightarrow DE=DF$

Mà $DE=DB$ nên $DF=DB$

 

Áp dụng hệ quả của định lý Ta-let, ta có:

$\Delta CFD$ với $GE//DF\Rightarrow \dfrac{CG}{CD}=\dfrac{GE}{DF}$

$\Delta CBD$ với $GH//DB\Rightarrow \dfrac{CG}{CD}=\dfrac{GH}{DB}$

$\Rightarrow \dfrac{GE}{DF}=\dfrac{GH}{DB}$

Mà $DF=DB$

Nên $GE=GH$

$\Rightarrow G$ là trung điểm $EH$   $\left( 1 \right)$

 

Do $OD$ là đường trung trực của $BE$

Mà $I$ là giao điểm $OD$ và $BE$

Nên $I$ là trung điểm $BE$   $\left( 2 \right)$

 

$\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$$\Rightarrow GI$ là đường trung bình $\Delta EBH$

$\Rightarrow GI//BH$

$\Rightarrow GI\bot BD$

 

Trong $\Delta BGD$ có hai đường cao $BA$ và $GI$

Mà $BA$ cắt $GI$ tại $K$

Nên $K$ là trực tâm $\Delta BGD$

$\Rightarrow DK$ là đường cao thứ ba

$\Rightarrow DK\bot BG$