Đáp án:

mình chỉ biết bài 5 thôi ạ:

b. Xét tứ giác AMIN có

$\widehat{MAN}$ = 90 độ  ( vì tam giác ABC vuông ở A )

$\widehat{AMI}$ = 90 độ   ( vì IM vuông góc với AB )

$\widehat{ANI}$ = 90 độ  ( vì IN vuoogn góc với AC ) 

Vậy AMIN là hình chữ nhật ( dấu hiệu nhận biết )

c. tam giác ABC vuông có AI là trung tuyến nên

AI = IC = 1/2 BC

Do đó tam giác AIC cần có đường cao IN đồng thời là trung tuyến => NA = NC

Lại có NI = ND ( tính chất đối xứng ) nên ADCI là hình bình hành có AC vuông góc ID

Vậy tứ giác ADCI là hình thoi

d. Kẻ IH // BK ta có IH là đường trung bình

H là trung điểm của CK hay KH = HC (1)

Xét có N là trung điểm của DI, NK // IH ( BK // IH )

Do đó K là trung điểm của DH hay DK = KH (2)

Từ (1) và (2) suy ra DK = KH = HC

=> DK/DC = 1/3

=> DC = 3.DK

=> đpcm