a)

$\Delta MES$ nội tiếp $\left( O \right)$ với $ME$ là đường kính

$\Rightarrow \Delta MES$ vuông tại $S$

 

b)

Ta có: $\begin{cases}IS=IM\\BS=BE\end{cases}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow IS+BS=IM+BE$

$\Rightarrow IB=IM+BE$

 

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

$OI$ là tia phân giác $\widehat{SOM}$

$OB$ là tia phân giác $\widehat{SOE}$

Mà $\widehat{SOM}$ và $\widehat{SOE}$ là hai góc kề bù

Nên $\widehat{IOB}=90{}^\circ $

$\Rightarrow \Delta IOB$ vuông tại $O$

Có $OS$ là đường cao

$\Rightarrow O{{S}^{2}}=IS.BS$ (hệ thức lượng)

$\Rightarrow {{R}^{2}}=IM.BE$

 

c)

Có $IM//BE$ (cùng vuông góc $ME$)

$\Rightarrow IMEB$ là hình thang

Có $O,A$ lần lượt là trung điểm $ME,IB$

$\Rightarrow OA$ là đường trung bình hình thang $IMEB$

$\Rightarrow OA//IM//BE$

$\Rightarrow OA\bot ME$

 

Ta có $\Delta IOB$ vuông tại $O$ với trung tuyến $OA$

$\Rightarrow A$ là tâm đường tròn đi qua ba điểm $I,O,B$

Mà $O\in ME$ và $OA\bot ME$ (cmt)

Nên $ME$ là tiếp tuyến của $\left( A \right)$