Ta có: Các số có ước nguyên tố không vượt quá 7 có dạng: $2^x . 3^y . 5^z . 7^t$

Do `x ; y ; z ; t` mỗi số có 2 trường hợp chẵn, lẻ nên số trên có tổng cộng

`2 . 2 . 2 . 2 = 16` trường hợp của bộ `x ; y ; z ; t`

Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại ít nhất $\left[ {\frac{{20}}{{16}} + 1} \right] = 2$ `=` `2` số `a` `,` `b` sao cho :

$\left\{ \begin{array}{l}a = {2^{{x_1}}}{.3^{{ y _1}}}{.5^{{z_1}}}{.7^{{t_1}}}\\b = {2^{{x_2}}}{.3^{{ y _2}}}{.5^{{z_2}}}{.7^{{t_2}}}\end{array} \right.$ và các số mũ tương ứng cùng tĩnh chẵn lẻ:

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\;\;\;\\{y_1} + {y_2} = 2n\\{z_1} + {z_2} = 2p\\{t_1} + {t_2} = 2q\end{array} \right.\\ \Rightarrow a.b = {\left( {{2^m}{{.3}^n}{{.5}^p}{{.7}^q}} \right)^2}.\end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\;\;\;\\{y_1} + {y_2} = 2n\\{z_1} + {z_2} = 2p\\{t_1} + {t_2} = 2q\end{array} \right.\\ \Rightarrow a.b = {\left( {{2^m}{{.3}^n}{{.5}^p}{{.7}^q}} \right)^2}.\end{array}$

`⇒` Đây là `1` số chính phương.

Vậy ta luôn chọn được `2` số sao cho tích của chúng là số chính phương từ `20` số tự nhiên mà mỗi số có ước nguyên tố không vượt quá `7.`