Giải:

Ta đặt (4n+3, 5n+1)=d suy ra:

4n+3 chia hết cho d => 5 (4n+3) chia hết cho d

5n+1 chia hết cho d => 4 (5n+1) chia hết cho d

 Vậy 5 (4n+3) - 4 (5n+1) chia hết cho d hay 11 chia hết cho d mà d không= 1 nên d=11, do đó (a,b)=11

Đáp án: $(a,b)=(55,66);(99,121)$

Giải thích các bước giải:

Ta có: $a=4n+3 ; b=5n+1 (n\in N)$ ($ƯCLN(a,b)>1$)

Đặt $\begin{cases} a=d.a_1\\b=d.b_1 \end{cases}(d>1;ƯCLN(a,b)=1;a,b\leq d)$

Xét $n=0$ và $n=1$ đều thấy không thỏa mãn nên $n>2$

Do đó $4n+3<5n+1=>a<b=>a_1<b_1$

$=>\begin{cases} d.a_1=4n+3\\d.b_1=5n+1 \end{cases}$

$=>\begin{cases} 5d.a_1=20n+15\\4d.b_1=20n+4 \end{cases}$

$=>5d.a_1-4d.b_1=20n+15-(20n+4)$

$=>d.(5a_1-4.b_1)=11$

$=>d.(5a_1-4.b_1)=1.11=11.1$

Do $d>1$ nên $d=11$

$=>5a_1-4b_1=1$

$=>5a_1-1=4b_1$

$=>5a_1-1\vdots 4$

Do $1$ là số lẻ nên $5a_1$ cũng phải lẽ

Mà $5$ lẻ nên $a_1$ lẻ

+, Với $a_1=1=>5a_1-1=4=4b_1=>b_1=1$ Không thỏa mãn (vì $a<b$)

+, Với $a_1=3=>5a_1-1=14$ Không thỏa mãn (vì $14$ không chia hết cho $4$)

+, Với $a_1=5=>5a_1-1=24=4b_1=>b_1=6$ Thỏa mãn

+, Với $a_1=7$ Không thỏa mãn

+, Với $a_1=9=>b_1=11$ Thỏa mãn

+, Với $a_1\geq 11=>b_1>11>d$ Không thỏa mãn

$=>(a_1,b_1)=(5,6);(9,11)$

$=>(a,b)=(d.a_1,d.b_1)=(11.5,11.6);(11.9,11.11)=(55,66);(99,121)$

Vậy $(a,b)=(55,66);(99,121)$