Áp dụng $AM-GM$ cho $2$ số dương ta được:
$\dfrac{{{x^2}}}{{y + z}} + \dfrac{{y + z}}{4} \ge 2\sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{{y + z}}.\dfrac{{y + z}}{4}}  = x$

$\dfrac{{{y^2}}}{{x + z}} + \dfrac{{x + z}}{4} \ge 2\sqrt {\dfrac{{{y^2}}}{{x + z}}.\dfrac{{x + z}}{4}}  = y$

$\dfrac{{{z^2}}}{{x + y}} + \dfrac{{x + y}}{4} \ge 2\sqrt {\dfrac{{{z^2}}}{{x + y}}.\dfrac{{x + y}}{4}}  = z$

Cộng lần lượt ba bất đẳng thức ta được:

$\begin{array}{l} A = \dfrac{{{x^2}}}{{y + z}} + \dfrac{{{y^2}}}{{x + z}} + \dfrac{{{z^2}}}{{x + y}} + \dfrac{{2\left( {x + y + z} \right)}}{4} \ge x + y + z\\  \Leftrightarrow A \ge \dfrac{{x + y + z}}{2} \end{array}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z$. Lại có $xyz=1$ nên $x=y=z=1$ nên $A\ge \dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{3}{2}$

Vậy $\min A=\dfrac{3}{2}$

Bài 2:

$a + \dfrac{1}{a} = a + \dfrac{4}{a} - \dfrac{3}{a} \ge 2\sqrt {a.\dfrac{4}{a}}  - \dfrac{3}{a} \ge 4 - \dfrac{3}{a}$

Ta có $a\ge 2\Rightarrow \dfrac{3}{a}\le \dfrac{3}{2}\Rightarrow -\dfrac{3}{a}\ge -\dfrac{3}{2}$

Vậy $B\ge 4-\dfrac{3}{a}\ge 4-\dfrac{3}{2}=\dfrac 5 2$. Suy ra $\min B=\dfrac{5} 2$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=2$

 

Bài 1.

Áp dụng BĐT Bunhia dạng phân thức ta được :

`A>= (x+y+z)^2/(2(x+y+z)) = (x+y+z)/2`

Dấu "`=`" xảy ra khi : `x=y=z=1`

`->A>= 3/2`

Vậy `min A=3/2<=>x=y=z=1`

Bài 2.

Những bài có đk như này thì điểm rơi tại biên.

Tức dấu = xảy ra khi `a=2`

Tách như sau :

`B=a+1/a`

`= a/4 +1/a + (3a)/4`

`>= 2\sqrt{a/4 . 1/a} + (3.2)/4`

`>= 5/2`

Dấu "`=`" xảy ra khi : `a/4=1/a, a=2<=>a=2`

Vậy `min B=5/2<=>a=2`