Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

Các cậu lưu ý những điều cần nhớ trong 2 bài toán 

này để vận dụng cho các bài tương tự

Bài 5) Dễ dàng cm $ DB = DI = DC$

hay các $ \Delta DBI; DCI $ cân tại $ I$

Do đó nếu gọi $ J$ là tiếp điểm của $BC; (I; r);$

$ K$ là trung điểm của $ IC$

$ => 2IBJ = ABC = IDC = 2IDK  $

$ => \Delta IBJ$ (vuông $J$) đồng dạng $ \Delta IDK$ (vuông $K$)

$ <=> \dfrac{IB}{IJ} = \dfrac{ID}{IK} <=> \dfrac{IB.IC}{IB} = 2r (đpcm)$

Bài 6)

Dễ cm $ K; M; N$ lần lượt đối xứng với $H$

qua $BC; CA; AB$ hay $ DK = DH; EM = EH; FN = FH$ 

a) Do đó $: \dfrac{AK}{AD} + \dfrac{BM}{BE} + \dfrac{CN}{CF}$

$ = \dfrac{AD + DH}{AD} + \dfrac{BE + MH}{BE} + \dfrac{CF + FH}{CF}$

$ = 3 + \dfrac{DH}{AD} + \dfrac{EH}{BE} + \dfrac{FH}{CF}$

$ = 3 + \dfrac{DH.BC}{AD.BC} + \dfrac{EH.CA}{BE.CA} + \dfrac{FH.AB}{CF.AB}$

$ = 3 + \dfrac{2S_{HBC}}{2S_{ABC}} + \dfrac{2S_{HCA}}{2_S{ABC}} + \dfrac{2S_{HAB}}{2S_{ABC}}$

$ = 3 + \dfrac{2S_{ABC}}{2S_{ABC}} = 4 (đpcm)$

b) Áp dụng BĐT quen thuộc:

$ (a + b + c)(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}) >= 9$

$(\dfrac{AK}{AD} + \dfrac{BM}{BE} + \dfrac{CN}{CF})(\dfrac{AD}{AK} + \dfrac{BE}{BM} + \dfrac{CF}{CN}) >= 9$

$ <=> \dfrac{AD}{AK} + \dfrac{BE}{BM} + \dfrac{CF}{CN} >= \dfrac{9}{4} (đpcm)$