Đáp án:

$\begin{array}{l}
a)Theo\,Pytago:\\
A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\
 \Rightarrow B{C^2} = {8^2} + {15^2} = 289\\
 \Rightarrow BC = 17\left( {cm} \right)\\
{S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC = \frac{1}{2}.AH.BC\\
 \Rightarrow AH = \frac{{8.15}}{{17}} = \frac{{120}}{{17}}\left( {cm} \right)\\
b)Xét\,tứ\,giác\,AMHN:\\
\widehat {MAN} = \widehat {AMH} = \widehat {ANH} = {90^0}
\end{array}$

Vậy AMHN là hình chữ nhật

c) VÌ AMHN là hình chữ nhật 

=> MN = AH = 120/17 (cm)

d)

Ta có: AMHN là hình chữ nhật 

=> góc AMN = góc AHN 

Mà góc AHN + góc NHC = 90 độ

góc NHC + góc ACB = 90 độ

=> góc AMN =góc AHN = góc ACB

Xét ΔAMN và ΔACB có:

+ góc A chung

+ góc AMN = góc ACB

=> ΔAMN = ΔACB (g-g)

=> AM. AB = AN. AC