Giải thích các bước giải:

Trên Ox lấy A, Oy lấy B sao cho $OA=OB=a\to AB$ cố định 

Không mất tính tổng quát giả sử $OM\le ON$ (trường hợp $OM>ON$ làm tương tự )

$\to OM+ON=2a\to OM+ON=OA+OB$

$\to OA-OM=ON-OB\to AM=BN$

Gọi C là trung điểm OM

$\to OC=CM=\dfrac12OM,IC$ là đường trung bình $\Delta NOM\to CI//ON,CI=\dfrac12ON$

$\to \dfrac{CI}{OB}=\dfrac{\dfrac12ON}{OB}=\dfrac12.\dfrac{ON}{OB}$

Mà

$\begin{split}\dfrac{AC}{AO}&=\dfrac{AM+CM}{OB}\\&=\dfrac{BN+\dfrac12CM}{OB}\\&=\dfrac{BN+\dfrac12(2a-ON)}{OB}\\&=\dfrac{BN+a-\dfrac12ON}{OB}\\&=\dfrac{BN-ON+a+\dfrac12ON}{OB}\\&=\dfrac{-a+a+\dfrac12ON}{OB}\\&=\dfrac{\dfrac12ON}{OB}\end{split}$

$\to \dfrac{AC}{AO}=\dfrac{CI}{OB}$

Lại có $CI//OB\to\widehat{ICA}=\widehat{BOA}$
$\to\Delta ACI\sim\Delta AOB(c.g.c)\to \widehat{CAI}=\widehat{OAB}$

$\to B,I,A$ thẳng hàng

$\to I\in AB$ cố định