c)

Do $M$ di động trên cung nhỏ  nên không mất tính tổng quát, giả sử $MB<MC$

Với đề cho $OA=2R$ thì sẽ tính được $OH=\dfrac{R}{2}$

Và với $OM=R$ thì $\dfrac{OM}{OH}=2$

 

Ta có:

$\begin{cases}{{S}_{\Delta ODE}}={{S}_{\Delta ODM}}+{{S}_{\Delta OEM}}\\{{S}_{\Delta OJI}}={{S}_{\Delta OJH}}+{{S}_{\Delta OIH}}\end{cases}$

 

Ta sẽ chứng minh $\Delta ODM\backsim\Delta OJH$ và $\Delta OEM\backsim\Delta OIH$

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì

$OD$ là phân giác $\widehat{BOM}$$\Rightarrow \widehat{DOM}=\dfrac{1}{2}\widehat{BOM}$

$OE$ là phân giác $\widehat{COM}$$\Rightarrow \widehat{EOM}=\dfrac{1}{2}\widehat{COM}$

$\Rightarrow \widehat{DOM}+\widehat{EOM}=\dfrac{1}{2}\left( \widehat{BOM}+\widehat{COM} \right)$

$\Rightarrow \widehat{DOE}=\dfrac{1}{2}\widehat{BOC}$

$\Rightarrow \widehat{DOE}=\widehat{BOA}$

$\Rightarrow \widehat{DOE}-\widehat{DON}=\widehat{BOA}-\widehat{DON}$

$\Rightarrow \widehat{HOJ}=\widehat{BOD}$

$\Rightarrow \widehat{HOJ}=\widehat{MOD}$

Kết hợp với $\widehat{OHJ}=\widehat{OMD}=90{}^\circ $

Ta được $\Delta ODM\backsim\Delta OJH$

$\Rightarrow \dfrac{{{S}_{\Delta ODM}}}{{{S}_{\Delta OJH}}}={{\left( \dfrac{OM}{OH} \right)}^{2}}={{2}^{2}}=4$

$\Rightarrow {{S}_{\Delta ODM}}=4{{S}_{\Delta OIH}}$

 

Tương tự: $\Delta OEM\backsim\Delta OIH$

$\Rightarrow \dfrac{{{S}_{\Delta OEM}}}{{{S}_{\Delta OIH}}}={{\left( \dfrac{OM}{OH} \right)}^{2}}={{2}^{2}}=4$

$\Rightarrow {{S}_{\Delta OEM}}=4{{S}_{\Delta OIH}}$

 

Như vậy:

$\dfrac{{{S}_{\Delta ODE}}}{{{S}_{OJI}}}=\dfrac{{{S}_{\Delta ODM}}+{{S}_{\Delta OEM}}}{{{S}_{\Delta OJH}}+{{S}_{\Delta OIH}}}=\dfrac{4{{S}_{\Delta OJH}}+4{{S}_{\Delta OIH}}}{{{S}_{\Delta OJH}}+{{S}_{\Delta OIH}}}=4$

$\Rightarrow {{S}_{\Delta ODE}}=4{{S}_{\Delta OJI}}$