Cách làm trên sai vì dãy ban đầu là dãy vô hạn. Giới hạn của một dãy chỉ bằng tổng giới hạn của các dãy khi và chỉ khi dãy đó hữu hạn. Vì vậy cách làm sai.

Cách làm đúng:

Dùng định lý kẹp:

$\begin{array}{l}
{u_n} = \sum\limits_{k = 1}^n {\dfrac{1}{{\sqrt {{n^2} + k} }}} \\
\dfrac{1}{{\sqrt {{n^2} + n} }} \le \dfrac{1}{{\sqrt {{n^2} + 1} }} < \dfrac{1}{{{n^2}}} = \dfrac{1}{n}\\
\dfrac{1}{{\sqrt {{n^2} + n} }} \le \dfrac{1}{{\sqrt {{n^2} + 2} }} < \dfrac{1}{{{n^2}}} = \dfrac{1}{n}\\
....\\
\dfrac{1}{{\sqrt {{n^2} + n} }} \le \dfrac{1}{{\sqrt {{n^2} + n} }} \le \dfrac{1}{{{n^2}}} = \dfrac{1}{n}
\end{array}$

Cộng tất cả bất đẳng thức trên ta được:

$\begin{array}{l}
\dfrac{n}{{\sqrt {{n^2} + n} }} \le {u_n} < 1\left( {\forall n \in \mathbb{N}*} \right)\\
\lim \dfrac{n}{{\sqrt {{n^2} + n} }} = \lim \dfrac{n}{{n\sqrt {1 + \dfrac{1}{n}} }} = \lim \dfrac{1}{{\sqrt {1 + \dfrac{1}{n}} }} = 1\\
\lim 1 = 1\\
 \Rightarrow \lim {u_n} = 1
\end{array}$