a) Dễ dàng c/m được tứ giác AEBF có 3 góc vuông => AEDG là hình CN 

b)

Tứ giác AEDF là hình chữ nhật ⇒ DE // AC; DF // AB

Trong ∆ ABC ta có: DB = DC (gt)

DE // AC

=> AE = EB (tính chất đường trung bình tam giác); DF// AB

AF = FC (tính chất đường trung bình của tam giác)

Xét tứ giác ADBM : AE = EB (chứng minh trên)

ED = EM (vì AB là trung trực DM)

Suy ra: Tứ giác ADBM là hình bình hành 

AB ⊥ DM

Vậy hình bình hành ADBM là hình thoi 

Xét tứ giác ADCN:

AF = FC (chứng minh trên)

DF = FN (vì AC là đường trung trực DN)

Suy ra: Tứ giác ADCN là hình bình hành 

AC ⊥ DN

Vậy hình bình hành ADCN là hình thoi 

c)

Tứ giác ADBM là hình thoi ⇒ AM // DB và AM = AD

hay AM // BC và AM = AD (*)

Tứ giác ADCN là hình thoi ⇒ AN // DC và AD = AN

hay AN // BC và AN = AD (**)

Từ (*) và (**) =>

AM trung với AN hay M, A, N thẳng hàng

Và AM = AN  nên A là trung điểm của MN

=> dpcm

d/

Hình chữ nhật AEDF trở thành hình vuông khi AE = AF

Ta có: AE = $\frac{\mathrm{1/}}{2}$AB ; AF =$\frac{\mathrm{1/2}}{}$AC

nên AE = AF và AB = AC

Vậy nếu ∆ ABC vuông cân tại A thì tứ giác AEDF là hình vuông.