Giải thích các bước giải:

Từ giả thiết ta có: 

$\eqalign{
  & 3{m^2} + m = 4{n^2} + n  \cr 
  &  \Leftrightarrow 4{m^2} + m - 4{n^2} - n = {m^2}  \cr 
  &  \Leftrightarrow 4(m - n)(m + n) + (m - n) = {m^2}  \cr 
  &  \Leftrightarrow (m - n)(4m + 4n + 1) = {m^2} \cr} $

Giả sử m - n, 4m + 4n + 1 đều chia hết cho 1 số d nào đó với d thuộc N* và d > 1

Suy ra: (m - 1)(4m + 4n + 1) chia hết cho $d^{2}$

$\eqalign{
  &  \Rightarrow {m^2} \vdots {d^2}  \cr 
  &  \Rightarrow m \vdots d  \cr 
  &  \Rightarrow n \vdots d(m - n \vdots d) \cr} $

Khi đó: 4m + 4n + 1 chia cho d dư 1 (Vô lí)

Vậy m - n, 4m + 4n + 1 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Ta lại có bổ đề như sau: 

Với a, b là 2 số nguyên tố cùng nhau và a.b = c^2 thì a, b đều là số chính phương

Giả sử a, b không là số chính phương

Khi phân tích thành thừa số nguyên tố thì giả sử a chứa thừa số nguyên tố p với m lẻ

Do (a;b) = 1 nên b không chứa p

Khi đó: $c^{2}$ chứa thừa số nguyên tố p với mũ lẽ (Vô lí)

Vậy a, b đều là số chính phương

Áp dụng bổ đề trên ta có điều phải chứng minh.