a)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

$OE$ là tia phân giác $\widehat{DOA}$

$OF$ là tia phân giác $\widehat{DOB}$

Mà $\widehat{DOA}$ và $\widehat{DOB}$ là hai góc kề bù

Nên $OE\bot OF$

 

b)

Vì $OE\bot OF$

$\Rightarrow \widehat{EOF}=90{}^\circ $

$\Rightarrow \widehat{AOE}+\widehat{BOF}=90{}^\circ $

Mà $\widehat{AOE}+\widehat{AEO}=90{}^\circ $

Nên $\widehat{AEO}=\widehat{BOF}$

Lại có $\widehat{EAO}=\widehat{OBF}=90{}^\circ $

$\Rightarrow \Delta AEO\backsim\Delta BOF\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \dfrac{OA}{BF}=\dfrac{OE}{OF}$

$\Rightarrow OA.OF=OE.BF$

 

c)

Ta có $\Delta OEF$ vuông tại $O$

Gọi $C$ là trung điểm cạnh huyền $EF$

$\Rightarrow C$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta OEF$

 

Vì $AE\bot AB\,;\,BF\bot AB$

$\Rightarrow AE//BF$

$\Rightarrow AEFB$ là hình thang

Lại có $O,C$ lần lượt là trung điểm $AB,EF$

Nên $OC$ là đường trung bình hình thang $AEFB$

$\Rightarrow OC//AE//BF$

$\Rightarrow OC\bot AB$

$\Rightarrow AB$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\Delta OEF$

$\Rightarrow $ Đường tròn ngoại tiếp $\Delta OEF$ tiếp xúc $AB$ tại $O$

 

d)

Ta có $AE//BF$ và $AF$ giao $BE$ tại $I$

$\Rightarrow \dfrac{IA}{IF}=\dfrac{AE}{BF}$ (Hệ quả định lý Ta-let)

Mà: $\begin{cases}AE=DE\\BF=DF\end{cases}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Nên: $\dfrac{IA}{IF}=\dfrac{DE}{DF}$

$\Rightarrow DI//AE$ (Định lý Ta-let đảo)

$\Rightarrow DI\bot AB$