Đáp án:

Chu vi tam giác ABC bằng 24 cm.

Giải thích các bước giải:

a) Xét tứ giác AHCK có hai đường chéo AC và HK cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

\( \Rightarrow AHCK\) là hình bình hành (dhnb).

Lại có \(MH \bot AC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow HK \bot AC\).

\( \Rightarrow AHCK\) là hình thoi (hình bình hành có hai đường chéo vuông góc).

b) AHCK là hình thoi (cmt) \( \Rightarrow AK\parallel HC\).

Mà \(BE\parallel HC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow BE\parallel AK\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AC\,\,\left( {gt} \right)\\HK \bot AC\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB\parallel HK\) (từ vuông góc đến song song) \( \Rightarrow AB\parallel EK\).

Xét tứ giác ABEK có: \(AK\parallel HC,\,\,AB\parallel EK\,\,\left( {cmt} \right)\).

\( \Rightarrow ABEK\) là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối song song).

c) Xét tam giác ABC có:

\(\begin{array}{l}MA = MC\,\,\left( {gt} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}HM \bot AC\\AB \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow HM\parallel AB \Rightarrow MN\parallel AB\end{array}\)

\( \Rightarrow N\) là trung điểm của BC (Tính chất đường trung bình của tam giác).

\( \Rightarrow MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).

\( \Rightarrow MN = \frac{1}{2}AB\) hay \(AB = 2MN\).

d) \(MN = 3cm \Rightarrow AB = 2MN = 6cm.\)

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có trung tuyến \(AN\) ứng với cạnh huyền \(BC\).

\( \Rightarrow AN = \frac{1}{2}BC \Rightarrow BC = 2AN = 2.5 = 10cm\).

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC có:

\(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}}  = 8cm\).

Vậy chu vi tam giác ABC là:

\({P_{ABC}} = AB + AC + BC = 6 + 8 + 10 = 24\,\,\left( {cm} \right)\).