a) Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên cũng là đường trung tuyến

=> D là trung điểm của BC. Theo trên ta có góc BEC = 90 độ 

=> Tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến

=> DE = 1/2 BC - đpcm

b)

Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE => tam giác AOE cân tại O => góc E₁ = góc A₁ (1).

Theo trên DE = 1/2 BC => tam giác DBE cân tại D => góc E₃ = góc B₁ (2)

Mà góc B₁ = góc A₁ (vì cùng phụ với góc ACB) => góc E₁ = góc E₃ => góc E₁ + góc E₂ = góc E₂ + góc E₃

Mà góc E₁ + góc E₂ = góc BEA = 90⁰ => góc E₂ + góc E₃ = 90⁰ = góc OED => DE vuông góc với OE tại E.

=> DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E  - đpcm

c) Theo giả thiết AH = 6 cm

=> OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm

=> OD = 5 cm.

Áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông tại E ta có :

ED² = OD² – OE² 

<=> ED² = 5² – 3²

<=> ED = 4cm

Vậy ...................

<3 CHúc bạn học tốt nha