a)

Có $\widehat{CMF}=90{}^\circ $ (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)

$\Rightarrow \Delta CMF$ vuông tại $M$

$\Rightarrow $3 điểm $C,M,F$ cùng nằm trên một đường tròn đường kính $CF$

$\Delta CKF$ vuông tại $K$

$\Rightarrow $3 điểm $C,K,F$ cùng nằm trên một đường tròn đường kính $CF$

$\Rightarrow $4 điểm $C,K,F,M$ cùng nằm trên một đường tròn đường kính $CF$

 

b)

Có $\widehat{CAD}=90{}^\circ $ (góc nội tiếp chẵn nữa đường tròn)

$\Rightarrow \Delta CAD$ vuông tại $A$

Có đường cao $AK$

Nên $D{{A}^{2}}=DK.DC$ (hệ thức lượng)   $\left( 1 \right)$

 

Xét $\Delta DKF$ và $\Delta DMC$, ta có:

$\widehat{DKF}=\widehat{DMC}=90{}^\circ $

$\widehat{KDF}$ là góc chung

$\Rightarrow \Delta DKF\backsim\Delta DMC\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \dfrac{DK}{DM}=\dfrac{DF}{DC}$

$\Rightarrow DK.DC=DF.DM$   $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)\Rightarrow DF.DM=D{{A}^{2}}$

 

c)

Đường kính $CD$ vuông góc dây cung $AB$ tại $K$

Nên $K$ là trung điểm $AB$$\Rightarrow AK=\dfrac{AB}{2}$

 

Ta có $\Delta ACD$ vuông tại $A$ với đường cao $AK$

$\Rightarrow A{{K}^{2}}=KC.KD$ (hệ thức lượng)   $\left( 3 \right)$

 

Xét $\Delta KFD$ và $\Delta KCE$, ta có:

$\widehat{FKD}=\widehat{CKE}=90{}^\circ $

$\widehat{KFD}=\widehat{KCE}$ (Cùng phụ $\widehat{KDF}$)

$\Rightarrow \Delta KFD\backsim\Delta KCE\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \dfrac{KF}{KC}=\dfrac{KD}{KE}$

$\Rightarrow KC.KD=KE.KF$   $\left( 4 \right)$

Từ $\left( 3 \right)$ và $\left( 4 \right)$

Ta được $KE.KF=A{{K}^{2}}$

$\Rightarrow KE.KF={{\left( \dfrac{AB}{2} \right)}^{2}}$

$\Rightarrow KE.KF=\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}$