a) Trong $\Delta ACD$ có: $F$ là trung điểm cạnh $AC$

$K$ là trung điểm cạnh $DC$

$\Rightarrow FK$ là đường trung bình $\Delta ACD$

$\Rightarrow FK\parallel AD$ và $FK=\dfrac{1}{2}AD$ (1)

$\Rightarrow $ tứ giác $AFKD$ là hình thang

 

Chứng minh tương tự $ME$ là đường trung bình $\Delta ABD$

$\Rightarrow ME\parallel =\dfrac{1}{2}AD$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $ME\parallel=FK$ ($\parallel=\dfrac{1}{2}AD$)

$\Rightarrow KEMF$ là hình bình hành (tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

 

b) Gọi $CE\cap AB=I$

Ta có: $AB\parallel DC$ hay $IB\parallel CD$

$\Rightarrow \dfrac{EI}{EC}=\dfrac{EB}{ED}=1$ do $EB=ED$

$\Rightarrow EI=EC$

$\Rightarrow E$ là trung điểm cạnh $IC$

và có $F$ là trung điểm $AC$

$\Rightarrow EF$ là đường trung bình $\Delta ACI$

$\Rightarrow EF\parallel AI$ hay $EF\parallel AB\parallel CD$

 

c) Ta có: $HE\bot AD$ mà $AD\parallel KF$ (do $KF$ là đường trung bình $\Delta ADC$)

$\Rightarrow HE\bot KF$ (*)

Ta có: $HF\bot BC$ mà $BC\parallel EK$

$\Rightarrow HF\bot EK$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra $\Delta EFK$ có 2 đường cao $EH$ và $FH$ mà $EH\cap FH=H$

$\Rightarrow H$ là trực tâm $\Delta EFK$

$\Rightarrow KH\bot EF$ mà $EF\parallel CD$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow HK\bot DC$

$\Delta HDC$ có $HK$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến

$\Rightarrow \Delta HDC$ cân đỉnh $H$.