Giải thích các bước giải:

a)Xét hai tam giác vuông ΔAHB và ΔAHC

Có: $\widehat{B}=\widehat{C} (gt)$

AH là cạnh chung

⇒ΔAHB=ΔAHC (ch-gn)

⇒$\widehat{BAH}=\widehat{CAH}$

b)Xét hai tam giác vuông ΔAMH và ΔANH

Có: AH là cạnh chung

$\widehat{BAH}=\widehat{CAH} (cmt)$

⇒ΔAMH=ΔANH (ch-gn)

⇒AM=AN ⇒ΔAMN cân tại A

c)ΔABC cân tại A⇒$ \widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{180^{\circ}-\widehat{A}}{2} (1)$

ΔAMN cân tại A⇒ $\widehat{AMN}=\widehat{ANM}=\frac{180^{\circ}-\widehat{A}}{2} (2)$

Từ (1) và (2)⇒$ \widehat{ABC}=\widehat{AMN}$ (đồng vị)

⇒MN//BC

d)ΔBMH vuông tại M

Áp dụng định lí Pitago:

  $MH^{2}=BH^{2}-BM^{2}$

ΔANH vuông tại N

Áp dụng định lí Pitago:

  $HN^{2}=AH^{2}-AN^{2}$

Hơn nữa $MH=HN (ΔAMH=ΔANH)$

⇒$BN^{2}-BM^{2}=AH^{2}-AN^{2}$

⇒$BN^{2}+AN^{2}=AH^{2}+BM^{2}$