Đáp án:

a) Tứ giác AFEB là hình bình hành

b)

Tứ giác AFCE là hình chữ nhật

Để tứ giác AFCE là hình vuông thì $\triangle ABC$ cần thêm điều kiện là tam giác vuông tại A

c)

Chu vi $\triangle AEC$ là $12cm$

Diện tích $\triangle AEC$ là $6cm^2$

Chu vi tứ giác AFEB là $18cm$

Diện tích tứ giác AFEB là $12cm^2$

Giải thích các bước giải:

a)

Xét $\triangle ABC$:

D là trung điểm của AC (gt)

E là trung điểm của BC (gt)

$\to$ DE là đường trung bình của $\triangle ABC$

$\to DE//AB, DE=\dfrac{1}{2}AB$

Ta có: $ED=DF=\dfrac{1}{2}EF$ (gt)

$\to AB=EF$

Xét tứ giác AFEB:

$AB//EF\,\,\,(DE//AB)$

$AB=EF$ (cmt)

$\to$ Tứ giác AFEB là hình bình hành (2 cạnh đối song song và bằng nhau)

b)

Xét tứ giác AFCE:

D là trung điểm của AC (gt)

D là trung điểm của FE (gt)

$\to$ Tứ giác AFCE là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Ta có: $\triangle ABC$ cân tại A, đường trung tuyến AE

$\to$ AE đồng thời là đường cao

$\to AE\bot BC\to AE\bot EC$

$\to$ Tứ giác AFCE là hình chữ nhật (hình bình hành có 1 góc vuông)

Để tứ giác AFCE là hình vuông

$⇔AE=EC\\⇔AE=\dfrac{1}{2}BC$

$\to\triangle ABC$ vuông tại A (tam giác có đường trung tuyến ứng với 1 cạnh và bằng nửa cạnh ấy là tam giác vuông)

$\to$ Để tứ giác AFCE là hình vuông thì $\triangle ABC$ cần thêm điều kiện là tam giác vuông tại A

c)

Ta có: $BE=EC=\dfrac{1}{2}BC=4(cm), AB=AC=5(cm)$

$\triangle AEC$ vuông tại E:

$AE^2+EC^2=AC^2$ (định lý Pytago)

$\to AE=\sqrt{AC^2-EC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3(cm)$

Chu vi $\triangle AEC$: $AE+EC+AC=3+4+5=12(cm)$

Diện tích $\triangle AEC$: $\dfrac{1}{2}.AE.EC=\dfrac{1}{2}.3.4=6(cm^2)$

Chu vi tứ giác AFEB: $(AB+BE).2=(5+4).2=18(cm)$

Diện tích tứ giác AFEB: $AE.EB=3.4=12(cm^2)$