Đáp án:

\(\eqalign{ & 1)\,\,{S_{\Delta ABC}} = 3\sqrt 3 \,\,\left( {c{m^2}} \right) \cr & \,\,\,\,\,{S_{\Delta AHK}} = {{3\sqrt 3 } \over 4}\,\,\left( {c{m^2}} \right) \cr & 2)\,\,B = C = 70,{5^0} \cr & \,\,\,\,\,\,A = {39^0} \cr & BK \approx 3,78\,\,\left( {cm} \right) \cr & AK \approx 4,66\,\,\left( {cm} \right) \cr & CK \approx 1,34\,\,\left( {cm} \right) \cr} \)

Giải thích các bước giải: 1) Xét tam giác vuông ABH có: \(BH = AB.\sin {60^0} = 3.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\,\,\left( {cm} \right)\). $\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}BH.AC=\frac{1}{2}.\frac{3\sqrt{3}}{2}.4=3\sqrt{3}\,\,\,\left( c{{m}^{2}} \right)$. Xét tam giác vuông AKC: $AK=AC.cos60=4.\frac{1}{2}=2\,\,\left( cm \right)$. Kẻ \(KM \bot AC\,\,\left( {M \in AC} \right)\). \(\begin{array}{l} \Rightarrow KM//BH \Rightarrow \frac{{KM}}{{BH}} = \frac{{AK}}{{AB}} = \frac{2}{3}\\ \Rightarrow KM = \frac{2}{3}BH = \frac{2}{3}.\frac{{3\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right)\end{array}\). Xét tam giác vuông ABH: $AH=AB.cos60=3.\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\,\,\left( cm \right)$. Vậy ${{S}_{AKH}}=\frac{1}{2}KM.AH=\frac{1}{2}\sqrt{3}.\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\,\,\left( c{{m}^{2}} \right)$. 2) Gọi H là trung điểm của BC => AH vuông góc với BC (Do tam giác ABC cân tại A). => BH = CH = 2cm. Xét tam giác vuông ABH có: $\cos B=\frac{BH}{AB}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\Rightarrow B\approx 70,{{5}^{0}}=C$ $\Rightarrow A={{180}^{0}}-B-C={{39}^{0}}$. Xét tam giác vuông ABK có: $BK=AB.\sin A=6.\sin 39\approx 3,78\,\,\left( cm \right)$. $AK=AB.cosA=6.\cos 39\approx 4,66\,\,\left( cm \right)$. $CK=AC-AK\approx 1,34\,\,\left( cm \right)$.