Đáp án:

a. Có AD = AB

⇒ Tam giác ABD cân A

⇒ ∠ADB = ∠ABD

Mà ∠ABD = ∠BDC ( so le trong )

⇒ ∠ADB = ∠BDC 

⇒ BD là phân giác ∠ADC

b. Xét tam giác EAB có

∠EAB = ∠EBA ( đồng vị với 2 góc bằng nhau )

⇒ Tam giác EAB cân E

⇒ AE = BE

Hay DE = EC = 15

Áp dụng định lý Ta lét có

$\begin{cases} EB + BC = 15\\\frac{EB}{EC} = \frac{AB}{DC} \\ \end{cases}$

→ $\begin{cases} \frac{EB}{15} = \frac{BC}{10}\\EB = 15 - BC\\ \end{cases}$

→ $\begin{cases} \frac{15 - BC}{15} = \frac{BC}{10}\\EB = 15 - BC\\ \end{cases}$

→ $\left[\begin{matrix} BC = 6\\ EB = 9\end{matrix}\right.$

c. Áp dụng định lý ta lét vào hình thang cân ABCD và tam giác ABD và tam giác ABC

$\begin{cases} \frac{DM}{AD} = \frac{CQ}{BC}\\\frac{DN}{DB} = \frac{DM}{AD}\\\frac{CP}{AC} = \frac{CQ}{BC} \end{cases}$

d. Do 

$\frac{DN}{AD}$ = $\frac{CP}{AC}$

Mà AC = BD 

⇒ DN = CP (1)

Do: $\frac{DM}{AD}$ = $\frac{CQ}{BC}$ 

Mà AD = BC

⇒ DM = CQ (2)

CMTT câu a ta được AC là phân giác góc BCD

Và ∠ADC = ∠BCD

⇒ ∠MDN = ∠PCQ (3)

Từ (1); (2) và (3)

⇒ Tam giác NMD = tam giác PQC

⇒ MN = PQ