Đáp án: $10cm$

Giải thích các bước giải:

Gọi B là trung điểm AD, kẻ $BC//HK(C\in AK)$

Ta có: $\begin{cases} AD=\dfrac23 AH\\AB=AD=\dfrac12 AD\\AD+DH=AH=>\dfrac23 AH + DH = AH=> DH=\dfrac13 AH \end{cases}$

$=>\begin{cases} AB=AD=\dfrac12 .\dfrac23 AH=\dfrac13 AH\\AD+DH=AH=>\dfrac23 AH + DH = AH=> DH=\dfrac13 AH \end{cases}$

$=>AB=AD=DH$

Lại có: $\begin{cases} BC//HK\text{ (Theo cách vẽ)}\\DE//HK(gt) \end{cases}$

$=>BC//DE//HK$

Xét tam giác ADE có B là trung điểm AD và $BC//DE$

Nên C là trung điểm AE

Do đó BC là đường trung bình tam giác ADE

$=>BC=\dfrac12 DE$ (1)

Xét hình thang BCKH ($BC//KH$) có D là trung điểm BH và $DE//HK$

Nên E là trung điểm CK

Do đó DE là đường trung bình hình thang BCKH

$=>DE=\dfrac{BC+HK}{2}$ (2)

$(1)(2)=>DE=\dfrac{\dfrac12 DE+15}{2}$

$=>2DE=\dfrac12 DE+15$

$=>2DE-\dfrac12 DE=15$

$=>\dfrac32 DE=15$

$=>DE=10(cm)$

Vậy DE dài $10cm$