`a)`

Xét ` ΔABC` vuông tại `A`, theo định lí `Pytago` ta có:

`BC^2 =AB^2 +AC^2`

`BC^2 =5^2 +12^2`

`BC^2 =25+144`

`BC^2 =169`

`BC= \sqrt169=13`

Xét ` ΔABC` vuông tại `A` có `I` là trung điểm `BC`

`=>AI` là đường trung tuyến của `ΔABC`

`=>AI=(BC)/2 =13/2=6,5(cm)`

Vậy `AI=6,5 cm`

`b)`

Xét tứ giác `ADIE` có:

`ID⊥AB`$(gt)$

`IE⊥AC`$(gt)$

`\hat{DAE}=90°(ΔABC` vuông tại `A)`

`=>ADIE` là hình chữ nhật 

Vậy `ADIE` là hình chữ nhật `(đpcm)`

`c)`

Vì `AI` là đường trung tuyến của `ΔABC`

`=>AI=IC`

Xét `ΔAIC` có `AI=IC(cmt)` nên `ΔAIC` cân tại `I`

mà `IE⊥AC` đồng thời `IE` cũng là đường trung tuyến `=>AE=EC=(AC)/2`

Theo `b`: `ADIE` là hình chữ nhật

`=>DI=AE; DI////AE` 

Xét tứ giác `DICE` có: $\left \{ {{DI=EC(AE=EC)} \atop {DI//EC(DI//AE)}} \right.$ 

`=>DIEC` là hình bình hành 

Vậy `DIEC` là hình bình hành  `(đpcm)`